内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:38:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

，

解得，

∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣5；

（2）令y=0，得二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象与x轴 的另一个交点坐标C（5，0）； 由于P是对称轴x=2上一点， 连接AB，由于

，

要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小；

由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC； 因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点； 设直线BC的解析式为y=kx+b， 根据题意可得解得

所以直线BC的解析式为y=x﹣5；（9分） 因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组

的解，

解得，

所求的点P的坐标为（2，﹣3）；

（3）M（5，0）或（﹣1﹣

，0）或（

﹣1，0）或（2，0）．

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D． （1）求该二次函数的解析式；

（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点， ∴

，

解得，

∴该二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣4；

（2）在线段BC上是存在点E，使得△CDE为等腰三角形， 由二次函数y=x2﹣x﹣4可知对称轴x=3， ∴D（3，0）． ∵C（8，0），

∴CD=5．

由二次函数y=x2﹣x﹣4可知B（0，﹣4）． 设BC的解析式为y=kx+b， 将B、C点坐标代入，得

，

解得，

BC的解析式为y=x﹣4．

E在线段BC上，设E点坐标为（m， m﹣4）．

①当CD=DE时，即（m﹣3）2+（m﹣4）2=25，解得m1=0，m2=8（不符合题意舍去）， 当m=0时， m﹣4=﹣4， ∴E1（0，﹣4）；

②当EC=DE时，（m﹣8）2+（m﹣4）2=（m﹣3）2+（m﹣4）2，解得m3=当m=∴E2（

时， m﹣4=×，﹣）；

，m5=8﹣2

（不符合题意舍），

﹣4=﹣，

，

③当CD=CE时，（m﹣8）2+（m﹣4）2=25，解得m4=8+2当m=8+2

时， m﹣4=

，即E3（8+2

，

）；

综上所述：所有符合条件的点E的坐标为E1（0，﹣4）； E2（

，﹣）；E3（8+2

，）．

9．如图，直线y=x+b与二次函数y=x2+x﹣4交于A、B两点，与y轴交于点C，是否存在这样的b，使得△AOB是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，说明理由．

【解答】解：∵直线y=x+b与二次函数y=x2+x﹣4， ∴x+b=x2+x﹣4， 解得：x1=

，x2=﹣

，

可以求得A、B的交点坐标分别为： B﹙

，

+b﹚，A﹙﹣

，﹣

+b﹚，

∵∠AOB=90°， ∴由勾股定理得： OA2+OB2=AB2， ∴（﹣

）2+（﹣

+b）2+

+（

+b）2=（2

）2+（

+b+

﹣b）2，

∴b2﹣2b﹣8=0 解得：b1=4或b2=﹣2．

10．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）． （1）求此函数的解析式和对称轴；

（2）试探索抛物线的对称轴上存在几个点P，使三角形PAB是直角三角形，并求出点P的坐标．

【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3），