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2013年北京各区一模压轴题的拓展思考

说明：兹对2013年北京各区模拟试题的第8、12、22、23、24、25题谈些理解与认识，或叫做拓展与思考，望批评指正。

2．顺义一模

第8题：

2013顺义一模如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP和PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为D

A． B． C． D．

分析：定性断势，定量求式，二者结合。设参：AB=2，v=1，求式

第12题：

2013顺义一模如图，边长为1的菱形ABCD中，?DAB?60°，则菱形ABCD的面积是 ，连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使?D1AC?60°；连结AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使?D2AC1?60°；……，按此规律所

3(3)2n?1作的第n个菱形的面积为 ． ，

22模型：60度的菱形（两个等边三角形）

D2

※S等边?ABC?C2

C1

D1 D C B

32a 4※顶角为120度的等腰三角形三边关系1:1:3

分析：第1个：边长1

第2个：边长3 第3个：边长3

n?1第n个：边长(3)

A

(3)2n?1第n个菱形的面积：．

2

1

第22题：

2013顺义一模如图1，在四边形ABCD中，AB?CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则?BME??CNE（不需证明）．

（提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE?HF，从而?1??2，再利用平行线性质，可证得?BME??CNE．） （补充）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB?CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．

问题二：如图3，在△ABC中，AC?AB，D点在AC上，AB?CD，E、F分别是

连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若?EFC?60°，连结GD，BC、AD的中点，

判断△AGD的形状并证明．

M

N A G A F C D A O F E D H 1 F M 2 N

B B B C D E E C

图2 图3 图1

（1）等腰三角形

（2）判断：?AGD是直角三角形

证明：如图连结BD，取BD的中点H，连结HF、HE，

QF是AD的中点，

∴HF∥AB，HF?∴?1??3．

同理，HE∥CD，HE?1AB， 21CD， 2B G A 3 F D H 1 2 E

∴?2??EFC．

QAB?CD，∴HF?HE， ∴?1??2． Q?EFC?60°，

∴?3??EFC??AFG?60°， ∴?AGF是等边三角形． QAF?FD， C 1AD， 2∴?AGD?90° 即△AGD是直角三角形． ∴GF?

2

拓展练习：

2013年全国初中数学联赛初二初赛如图，已知四边形ABCD中，AB?DC，E、F分别为AD与BC的中点，连结EF与BA的延长线相交于N，与CD的延长线相交于M. 求证：?BNF??CMF

M

N

E

D A

B F C

分析：连结AC,取AC的中点K..连结EK,FK. 可证

第23题：

2013顺义一模已知关于x的方程mx?(3m?2)x?2m?2?0 （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.

（2）若关于x的二次函数y?mx?(3m?2)x?2m?2的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，求抛物线的解析式.

（1）分类证明

2（2）m只能取1，2 所以抛物线的解析式为y?x?5x?4或y?2x?8x?6

222

第24题：

2013顺义一模如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G. （1）求证：EF?EG； （2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB?a，BC?b，求

EF的值． EG 3