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2014高考数学(理)黄金配套练习
一、选择题
74
1.在(ax-1)展开式中含x项的系数为-35,则a为( ) A.±1 B.-1
11C.- D.±
22答案 A
34343434
解析 由通项公式可得C7(ax)(-1)=-35x,∴C7a(-1)=-35,∴a=1,∴a=±1.
5674
2.在(1+x)+(1+x)+(1+x)的展开式中,x的系数是通项公式为an=3n-5的数列的( )
A.第20项 B.第18项 C.第11项 D.第3项 答案 A
4
解析 ∵x的系数是 444123
C5+C6+C7=C5+C6+C7=5+15+35=55, 则由an=55,即3n-5=55,解得n=20.
*
3.在(x+1)(2x+1)……(nx+1)(n∈N)的展开式中一次项系数为( )
22
A.Cn B.Cn+1
13n-1
C.Cn D.Cn+1
2
答案 B
n·(n+1)2
解析 1+2+3+…+n==Cn+1
24.设(5x-x)的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,M-N=240,则展
3
开式中x项的系数为( )
A.500 B.-500 C.150 D.-150 答案 C
nnnn2
解析 N=2,令x=1,则M=(5-1)=4=(2),
n2nn∴(2)-2=240,2=16,n=4.
r4-rr展开式中第r+1项Tr+1=C4·(5x)·(-x)
=(-1)·C4·5
rr4-rn·x4-
r2
.
2
2
2
令4-=3,即r=2,此时C4·5·(-1)=150.
2
1n2
5.如果(x-)的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系
2x数之和是( )
A.0 B.256
1
C.64 D. 64
答案 D
34??Cn>Cn解析 解法一 由已知得?32,
??Cn>Cn*
∴5
161
令x=1,则原式=(1-)=.
264
解法二 由题意知,只有第4项的二项式系数最大,∴n=6,
r
161
令x=1,则原式=(1-)=.
26410
6.二项展开式(2x-1)中x的奇次幂项的系数之和为( )
1010
1+31-3A. B. 2210103-11+3C. D.-
22答案 B
10210
解析 设(2x-1)=a0+a1x+a2x+…+a10x,令x=1,得1=a0+a1+a2+…+a10,再令
10
1-310
x=-1,得3=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10,两式相减可得a1+a3+…+a9=,故选B.
27.已知(1-2)=a+2b(a,b为有理数),则a-2b=( )
20
A.(1-2) B.0 C.-1 D.1 答案 D
nn解析 在二项式(a+b)与(a-b)的展开式中,奇数项是完全相同的,偶数项互为相反数,
101022
根据这个特点,当(1-2)=a+2b时,必有(1+2)=a-2b,故a-2b=(a+2b)(a1010
-2b)=(1-2)(1+2)=1.
二、填空题
10210
8.(x+2)(x-1)的展开式中x的系数为________. 答案 179
10221010
解析 (x+2)(x-1)=x(x+2)-(x+2)
1010810r10-rr本题求x的系数,只要求(x+2)展开式中x及x的系数Tr+1=C10x· 2
822
取r=2,r=0得x的系数为C10×2=180; x10的系数为C210=1,
∴所求系数为180-1=179.
2318333n9.设an (n=2,3,4,…)是(3-x)的展开式中x的一次项的系数,则++…+的
10
2
2
a2a3a18
值为____________. 答案 17
23
r332n-2
解析 由通项C3(-1)x知,展开式中x的一次项的系数为an=Cn3,所以++…
2a2a3
rn-rnr+
318
22222
=3(+++…+)=17. a1×22×33×417×18
18
420
10.在(x+3y)的展开式中,系数为有理数的项共有________项. 答案 6
解析 注意到二项式(x+
4
3y)的展开式的通项是Tr+1=c20·x20
r20-r·(
4
3y)=
rr20-rr420
Cr·y.当r=0,4,8,12,16,20时,相应的项的系数是有理数.因此(x+3y)的20·3·x4
展开式中,系数是有理数的项共有6项.
4324
11.(2011·安徽江南十校)a4(x+1)+a3(x+1)+a2(x+1)+a1(x+1)+a0=x,则a3-a2+a1=________.
答案 -14
4432
解析 [(x+1)-1]=a4(x+1)+a3(x+1)+a2(x+1)+a1(x+1)+a0,∴a3-a2+a1=123
(-C4)-C4+(-C4)=-14.
12.二项式(1+sinx)n的展开式中,末尾两项的系数之和为7,且系数最大的一项的值
5
为,则x在[0,2π]内的值为________. 2
π5π答案 或 66
nn-1n解析 二项式(1+sinx)的展开式中,末尾两项的系数之和Cn+Cn=1+n=7,∴n=6,
51333
系数最大的项为第4项,T4=C6(sinx)=,∴(sinx)=,
28
1π5
∴sinx=,又x∈[0,2π],∴x=或π.
266
5
13.(1-3a+2b)展开式中不含b项的系数之和是________. 答案 -32
5
解析 令a=1,b=0,即得不含b项的系数和(1-3)=-32. 三、解答题
162
14.设m=?π(sint+cost)dt,求二项式(mx-)展开式中含x项的系数及各项系数
x?0之和.
答案 -192,1
解析 ∵m=?π(sint+cost)dt=(sint-cost)|
?0
6
π0=2.
x
r6-rr3-r
又Tr+1=C62(-1)x,
2
令3-r=2,∴r=1,∴x项的系数为-192. 令x=1知各项系数之和为1.
1002100
15.设(2-3x)=a0+a1x+a2x+…+a100x求下列各式的值: (1)a0;
(2)a1+a2+…+a100; (3)a1+a3+a5+…+a99;
22
(4)(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99).
100
解析 (1)(2-3x)展开式中的常数项为
100100
C0100·2,即a0=2,或令x=0,
100
则展开式可化为a0=2.
100
(2)令x=1,可得a0+a1+a2+…+a100=(2-3)①
100100
∴a1+a2+…+a100=(2-3)-2. (3)令x=-1,
100
可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+3)② 与x=1所得到的①联立相减可得
100100
(2-3)-(2+3)
a1+a3+…+a99=.
2
(4)原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…a99)]·[(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)]
=(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)
100100
=(2-3)(2+3)=1.
拓展练习·自助餐
10
1.把(3i-x)(i是虚数单位)按二项式定理展开,展开式的第8项的系数是( ) A.135 B.-135
∴(mx-1x
)=(2x-
1
),
6
C.-3603i D.3603i 答案 D
73773777
解析 ∵T7+1=C10(3i)(-x)=-C1033ix=C1033ix.所以展开式的第8项的系数为7
33·C10i,即3603i.
2.若(2-1
答案 -
3
解析 T7=T6+1=C9(2)(-即
9×8×73x121
·2·=,
3×2×184
3x-1
6
x3
x
2921
)的展开式的第7项为,则 x=________. 24
2621
)=, 24
1-2
=2,因此有3x-1=-2,即x=-. 3
3828
3. (x+1)+(x-2)=a0+a1(x-1)+a2(x-1)+…+a8(x-1),则a6=________. 答案 28
3838
解析 ∵(x+1)+(x-2)=[(x-1)+2]+[(x-1)-1],
62626
∴a6(x-1)=C8(x-1)(-1)=28(x-1),∴a6=28.
n
4. (1+ax+by)展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为( )
A.a=2,b=-1,n=5 B.a=-2,b=-1,n=6 C.a=-1,b=2,n=6 D.a=1,b=2,n=5 答案 D
n
解析 注意到(1+ax+by)
n
=[(1+ax)+by]
n
=[(1+by)+ax],
n5
因此依题意得(1+|b|)=243 =3,
n5
(1+|a|)=32=2,
于是结合各选项逐一检验可知,
当n=5时,|b|=2,|a|=1,因此选D.
22
5.请先阅读:在等式cos2x=2cosx-1(x∈R)的两边对x求导,即(cos2x)′=(2cosx-1)′;
由求导法则得(-sin2x)·2=4cosx·(-sinx), 化简后得等式sin2x=2sinxcosx.
(1)利用上述想法(或者其他方法),试由等式
所以2
n(1+x)=Cn+Cnx+Cnx+…+C 2kCx. k=
kk-1
nnn0
n0122
n-1n-1nx+Cx(x∈R,整数n≥2)证明:n [(1+x)-1]=∑
kknnnn-1
(2)对于整数n≥3,求证:∑k (-1)kCn=0. =1
解析 (1)在等式(1+x)=Cn+Cnx+Cnx+…+Cnx+Cnx两边对x求导得
2n-1n-2nn-1
n(1+x)n-1=C1+nCnx. n+2Cnx+…+(n-1)Cnxn1
22
n-1n-1nn移项得n[(1+x)
n-1
-1]=∑k= 2kCnxnkk-1
.(*)
nk-1
kkkC=0,所以∑k= 1 (-1)kCn=0. kn(2)在(*)式中,令x=-1,整理得∑k= 1 (-1)