内容发布更新时间 : 2024/12/23 22:00:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第四章一元函数微积分的应用
内容提要:一元函数微分学的应用很广:导数与切线的关系直接从导数的定义上就可以得到,它也进一步反应了微分学的基本思想:“以曲代直”;导数与单调性的关系是中值定理的推论,它不但可以帮助我们很方便地计算函数的单调区间,还是我们证明很多不等式的重要思路;函数的极值点与拐点是重要的考点,考生需要理解并掌握它们的定义和判别定理,它们也都可以通过函数的单调性来理解。一元函数微分学的应用在考试中出现的频率很高,但总体难度不大,只要记住相应的定理和计算公式即可。
定积分的应用分为几何应用和物理应用两部分。几何应用包括通过定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积;物理应用主要是通过定积分计算一些物理量:变力做的功,液体的静压力,平面图形的质心或形心等。定积分的应用的理论基础是定积分的定义,它的基本思想是微元法,微元法可以概括为分割、近似、求和、取极限,其中近分割和近似是这四步的关键。考生复习时应该掌握常见的几何量和物理量的计算公式,同时还要深入理解微元法的思想,对主要公式要掌握其推导过程。
第一节导数的应用
Ⅰ考点精讲
1.导数与切线
设函数曲线
可导,则曲线在
在任意一点的切线斜率等于该点的导数值。也就是说,
,该点的法线方
处的切线方程可表示为
程可表示为
。
2.单调性定理:设函数
(1)如果在
上有
在上连续,在
上可导。
,那么函数在
上单调递增。
(2)如果在上有,那么函数在
上单调递减。
(单调性定理也是中值定理的推论,考生可以尝试自行推导)
3.函数极值点及其判定方法
1).极值点
设函数在点的某领域
,则称
内有定义,如果对任意的
是函数
,有
的一个极大值(或极小值)。
2).极值点的判别定理
a.(必要条件)设函数
的推论)
在
处可导,并在
处取得极值,那么
。(罗尔定理
b.(第一充分条件)设函数在处连续,并在的某去心邻域
内可导。
ⅰ)若得极大值;
时,而时,则在处取
ⅱ)若得极小值;
时,而时,则在处取
ⅲ)若时,符号保持不变,则则在
处没有极值;
c.(第二充分条件)设函数在处存在二阶导数且
,那么
ⅰ)若则在
处取得极小值;
ⅱ)若则在
处取得极大值。
4.函数的凹凸性
1)凹函数与凸函数的定义
设函数在区间上连续,如果对上任意两点恒有,
则称则称
是上的凹函数;如果对上任意两点恒有,
是上的凸函数。
2)凹凸性与二阶导数的关系
设函数
在闭区间
上连续,在开区间
上具有一阶和二阶导数,那么:
(1)如果在上有,那么函数在
上是凹函数;
(2)如果在上有,那么函数在
上是凸函数。
3)函数的拐点:函数凹凸性的分界点称之为拐点。 4)拐点的判别:
拐点判别定理Ⅰ:若在点点
为拐点。
处
,且在点
两侧函数二阶导数的符号不一样,则
拐点判别定理Ⅱ:若在点处,且有,则点
为拐点。
5.函数的渐近线
1).垂直渐近线(如果函数在近线。
)
处的左右极限中至少有一个等于
或
,则称
为函数的垂直渐
2).水平渐近线(
)
如果有或,则称
为函数的水平渐近线。