内容发布更新时间 : 2024/5/3 17:56:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第四章一元函数微积分的应用

内容提要：一元函数微分学的应用很广：导数与切线的关系直接从导数的定义上就可以得到，它也进一步反应了微分学的基本思想：“以曲代直”；导数与单调性的关系是中值定理的推论，它不但可以帮助我们很方便地计算函数的单调区间，还是我们证明很多不等式的重要思路；函数的极值点与拐点是重要的考点，考生需要理解并掌握它们的定义和判别定理，它们也都可以通过函数的单调性来理解。一元函数微分学的应用在考试中出现的频率很高，但总体难度不大，只要记住相应的定理和计算公式即可。

定积分的应用分为几何应用和物理应用两部分。几何应用包括通过定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积；物理应用主要是通过定积分计算一些物理量：变力做的功，液体的静压力，平面图形的质心或形心等。定积分的应用的理论基础是定积分的定义，它的基本思想是微元法，微元法可以概括为分割、近似、求和、取极限，其中近分割和近似是这四步的关键。考生复习时应该掌握常见的几何量和物理量的计算公式，同时还要深入理解微元法的思想，对主要公式要掌握其推导过程。

第一节导数的应用

Ⅰ考点精讲

1.导数与切线

设函数曲线

可导，则曲线在

在任意一点的切线斜率等于该点的导数值。也就是说，

，该点的法线方

处的切线方程可表示为

程可表示为

。

2.单调性定理：设函数

（1）如果在

上有

在上连续，在

上可导。

，那么函数在

上单调递增。

（2）如果在上有，那么函数在

上单调递减。

（单调性定理也是中值定理的推论，考生可以尝试自行推导）

3.函数极值点及其判定方法

1）.极值点

设函数在点的某领域

，则称

内有定义，如果对任意的

是函数

，有

的一个极大值（或极小值）。

2）.极值点的判别定理

a.(必要条件)设函数

的推论）

在

处可导，并在

处取得极值，那么

。（罗尔定理

b.(第一充分条件)设函数在处连续，并在的某去心邻域

内可导。

ⅰ）若得极大值；

时，而时，则在处取

ⅱ）若得极小值；

时，而时，则在处取

ⅲ）若时，符号保持不变，则则在

处没有极值；

c.(第二充分条件)设函数在处存在二阶导数且

，那么

ⅰ）若则在

处取得极小值；

ⅱ）若则在

处取得极大值。

4.函数的凹凸性

1）凹函数与凸函数的定义

设函数在区间上连续，如果对上任意两点恒有，

则称则称

是上的凹函数；如果对上任意两点恒有，

是上的凸函数。

2）凹凸性与二阶导数的关系

设函数

在闭区间

上连续，在开区间

上具有一阶和二阶导数，那么：

（1）如果在上有，那么函数在

上是凹函数；

（2）如果在上有，那么函数在

上是凸函数。

3）函数的拐点：函数凹凸性的分界点称之为拐点。 4）拐点的判别：

拐点判别定理Ⅰ：若在点点

为拐点。

处

，且在点

两侧函数二阶导数的符号不一样，则

拐点判别定理Ⅱ：若在点处，且有，则点

为拐点。

5.函数的渐近线

1）.垂直渐近线(如果函数在近线。

)

处的左右极限中至少有一个等于

或

，则称

为函数的垂直渐

2）.水平渐近线(

)

如果有或，则称

为函数的水平渐近线。