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小学数学奥数基础教程(五年级) --第30讲

本教程共30讲

抽屉原理（二）

例1把一个长方形画成3行9列共27个小方格，然后用红、蓝铅笔任意将每个小方格涂上红色或蓝色。是否一定有两列小方格涂色的方式相同？

分析与解：将9列小方格看成9件物品，每列小方格不同的涂色方式看成不同的抽屉。如果涂色方式少于9种，那么就可以得到肯定的答案。涂色方式共有下面8种：

9件物品放入8个抽屉，必有一个抽屉的物品数不少于2件，即一定有两列小方格涂色的方式相同。

例2在任意的四个自然数中，是否总能找到两个数，它们的差是3的倍数？

分析与解：这道题可以将4个自然数看成4件物品，可是却没有明显的抽屉，这就需要根据题目构造合适的抽屉。

因为题目要求两个数的差是3的倍数，当两个数除以3的余数相同时，这两个数的差一定是3的倍数，所以将自然数按除以3的余数分类，可以分为整除、余1、余2三类，将这三类看成3个抽屉。4件物品放入3个抽屉，必有一个抽屉中至少有2件物品，即4个自然数中至少有2个数除以3的余数相同，它们的差是3的倍数。

所以，任意的四个自然数中，总能找到两个数，它们的差是3的倍数。 例3 从1，3，5，7，…，47，49这25个奇数中至少任意取出多少个数，才能保证有两个数的和是52。

分析与解：首先要根据题意构造合适的抽屉。在这25个奇数中，两两之和是52的有12种搭配：

｛3，49｝，｛5，47｝，｛7，45｝，｛9，43｝， ｛11,41｝，｛13，39｝，｛15，37｝，｛17，35｝，

｛19，33｝，｛21，31｝，｛23，29｝，｛25，27｝。 将这12种搭配看成12个抽屉，每个抽屉中有两个数，还剩下一个数1，单独作为一个抽屉。这样就把25个奇数分别放在13个抽屉中了。因为一共有13个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，至少有一个抽屉被取出2个数，这两个数的和是52。所以本题的答案是取出14个数。 例4在下图所示的8行8列的方格表中，每个空格分别填上1，2，3这三个数字中的任一个，使得每行、每列及两条对角线上的各个数字的和互不相等，能不能做到？

分析与解：在8行8列的方格表中，8行有8个和，8列也有8个和，2条对角线有2个和，所以一共有8+8+2=18（个）和。因为题目问的是，这18个和能否互不相等，所以这18个和是物品，而和的不同数值是抽屉。 按题目要求，每个和都是由1，2，3三个数中任意选8个相加而得到的。这些和中最小的是8个都是1的数相加，和是8；最大的是8个都是3的数相加，和是24。在8至24之间，不同的和只有24-8+1=17(个)。将这17个不同的和的数值作为抽屉，把各行、列、对角线的18个和作为物品。把18件物品放入17个抽屉，至少有一个抽屉中的物品数不少于2件。也就是说，这18个和不可能互不相等。

例5用1，2，3，4这4个数字任意写出一个10000位数，从这个10000位数中任意截取相邻的4个数字，可以组成许许多多的四位数。这些四位数中至少有多少个是相同的？

分析与解：猛一看，谁是物品，谁是抽屉，都不清楚。因为问题是求相邻的4个数字组成的四位数有多少个是相同的，所以物品应是截取出的所有四位数，而将不同的四位数作为抽屉。

在10000位数中，共能截取出相邻的四位数10000-3=9997（个）， 即物品数是9997个。

用1，2，3，4这四种数字可以组成的不同四位数，根据乘法原理有4×4×4×4=256（种）， 这就是说有256个抽屉。

9997÷256=39……13，

所以这些四位数中，至少有40个是相同的。

练习30

1.红光小学每周星期一、三、五、六各举办一种课外活动，问：至少要有多少学生报名参加，才能保证其中至少有3位学生所参加的课外活动完全一样？

2.任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？ 3.在前10个自然数中，至少取多少个数，才能保证其中有两个数的和是10？

4.右图是一个5行5列的方格表，能否在每个方格中分别填上1，2，3中的一个数，使得每行、每列及两条对角线上的五个方格中的数字之和互不相同？

5.要把85个球放入若干个盒子中，每个盒子中最多放7个。问：至少有几个盒子中放球的数目相同？

6.至少取出多少个真分数，才可以保证其中必有两个真分数之差小于

练习30

1.31名。

提示：只参加一次活动的有4种选择； 参加两次活动的有下面6种选择：

｛星期一、三｝，｛星期一、五｝，｛星期一、六｝， ｛星期三、五｝，｛星期三、六｝，｛星期五、六｝；

参加三次活动的有下面4种选择，

｛星期一、三、五｝，｛星期一、三、六｝， ｛星期一、五、六｝，｛星期三、五、六｝；

参加四次活动的有1种选择。 共有4+6+4+1=15（种）选择。 2.8。

提示：与例2类似，按除以7的余数将自然数分为7类。 3.7。

提示：与例3类似，分下面6个抽屉：(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)，(5)，(10)。

4.不能。提示：与例4类似。 5.4个。

提示：每盒放1，2，3，4，5，6，7个球，这样的七盒共放球

1+2+3+4+5+6+7=28（个），

85÷28=3……1，

所以至少有4个盒中的球数相同。 6.11个。