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轨迹探求

（2018年5月）

一、 知识要点

1、 曲线与方程的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程

f(x,y)?0的实数解建立了如下关系：

（1） 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性） （2） 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2、 求轨迹方程的一般步骤

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上动点的坐标； （2）写出适合条件的动点的集合；

（3）用坐标表示条件，列出方程f(x,y)?0； （4）化方程f(x,y)?0为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 3、 求轨迹方程的基本方法

（1） 直接法；

（2） 定义法（基本轨迹法）； （3） 动点转移法；

（4） 代点法（平方差法或设而不求）； （5） 交轨法； （6） 参数法．

注：求曲线的方程与求轨迹是有不同要求的，求轨迹则不仅要求出方程，还需要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需要说明清楚．

二、

例题精讲

例1、已知线段AB在直线y??2上移动，?AOB??4（O为坐标原点）．

（1） 求?AOB的外心的轨迹方程，并指出是什么形状的曲线． （2） 设直线OA与（1）中轨迹交于C、D两点，

2CD??4，求OA所在直线方程． OC222答案：（1）?y?4??x?8y?22?4，其轨迹是双曲线?y?4??x?8的上半

??支；（2）y??

7x． 7例2、设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2?2y2?4交于A、B两点，P是l上满足

PA?PB?1的点，求点P的轨迹方程．

x2y2??1??2?x?2?． 答案：63

例3、设椭圆中心为原点，一个焦点为F1?0,1?，长轴与短轴的长度之比为t． （1） 求椭圆的方程；

（2） 设过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线

上且

OPOQ?t?t2?1，当t变化时，求点P的轨迹方程．

?2?y??x?2??和??2答案：（1）t?t?1?x??t?1?y?t；（2）x?22222222x2??

22?2?y?x??． ???2??

2例4、（1）一动圆过定点A?1,0?，且与定圆?x?1??y?16相切，求动圆圆心的轨

2迹方程．

2（2）又若定点为A?2,0?，定圆为?x?2??y?4呢？

2x2y2y22??1；?1． 答案：（1）（2）x?433

例5、已知双曲线过点A??2,4?,B?4,4?，它的一个焦点是F,0?，求它的另一个焦1?1点的轨迹． 答案：x?1?y?0?

例6、已知抛物线y?4x，过点A?0,?2?的直线与抛物线相交于P、Q两点，求以

2?x?1?或

252?y?4??162?1?y?0?．

OP、OQ为相邻两边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程． 答案：y?4y?4x?0,y????,?8?2?0,???．

*例7、设抛物线过定点A?0,1?且以直线y??1为准线． （1） 求抛物线顶点C的方程； （2） 过定点B???5?,0?，是否存在一对互相垂直的直线同时与轨迹C有公共点？证?2?明你的结论．

（3） 将轨迹C的方程中的x,y分别换成x?h、y?k，所得新曲线与两直线x?5，

y?5同时有公共点，求点?h,k?所构成图形的面积．