2018高考复习数学第一轮 第57讲 轨迹探求(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案) 下载本文

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轨迹探求

(2018年5月)

一、 知识要点

1、 曲线与方程的定义:在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程

f(x,y)?0的实数解建立了如下关系:

(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(纯粹性) (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.(完备性). 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 2、 求轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上动点的坐标; (2)写出适合条件的动点的集合;

(3)用坐标表示条件,列出方程f(x,y)?0; (4)化方程f(x,y)?0为最简形式;

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 3、 求轨迹方程的基本方法

(1) 直接法;

(2) 定义法(基本轨迹法); (3) 动点转移法;

(4) 代点法(平方差法或设而不求); (5) 交轨法; (6) 参数法.

注:求曲线的方程与求轨迹是有不同要求的,求轨迹则不仅要求出方程,还需要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置、大小都需要说明清楚.

二、

例题精讲

例1、已知线段AB在直线y??2上移动,?AOB??4(O为坐标原点).

(1) 求?AOB的外心的轨迹方程,并指出是什么形状的曲线. (2) 设直线OA与(1)中轨迹交于C、D两点,

2CD??4,求OA所在直线方程. OC222答案:(1)?y?4??x?8y?22?4,其轨迹是双曲线?y?4??x?8的上半

??支;(2)y??

7x. 7例2、设动直线l垂直于x轴,且与椭圆x2?2y2?4交于A、B两点,P是l上满足

PA?PB?1的点,求点P的轨迹方程.

x2y2??1??2?x?2?. 答案:63

例3、设椭圆中心为原点,一个焦点为F1?0,1?,长轴与短轴的长度之比为t. (1) 求椭圆的方程;

(2) 设过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q,点P在该直线

上且

OPOQ?t?t2?1,当t变化时,求点P的轨迹方程.

?2?y??x?2??和??2答案:(1)t?t?1?x??t?1?y?t;(2)x?22222222x2??

22?2?y?x??. ???2??

2例4、(1)一动圆过定点A?1,0?,且与定圆?x?1??y?16相切,求动圆圆心的轨

2迹方程.

2(2)又若定点为A?2,0?,定圆为?x?2??y?4呢?

2x2y2y22??1;?1. 答案:(1)(2)x?433

例5、已知双曲线过点A??2,4?,B?4,4?,它的一个焦点是F,0?,求它的另一个焦1?1点的轨迹. 答案:x?1?y?0?

例6、已知抛物线y?4x,过点A?0,?2?的直线与抛物线相交于P、Q两点,求以

2?x?1?或

252?y?4??162?1?y?0?.

OP、OQ为相邻两边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程. 答案:y?4y?4x?0,y????,?8?2?0,???.

*例7、设抛物线过定点A?0,1?且以直线y??1为准线. (1) 求抛物线顶点C的方程; (2) 过定点B???5?,0?,是否存在一对互相垂直的直线同时与轨迹C有公共点?证?2?明你的结论.

(3) 将轨迹C的方程中的x,y分别换成x?h、y?k,所得新曲线与两直线x?5,

y?5同时有公共点,求点?h,k?所构成图形的面积.