北京航空航天大学2008-2009学年第一学期期末考试(概率统计与随机过程) 下载本文

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北京航空航天大学2008-2009学年第一学期期末考试(概率统计与随机过程)

一、单项选择题(每小题3分,满分18分)

141、设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,?)的样本,设X??Xi,

4i?12当?2? ( )时, 概率P{1?X?2}最大。 (A)6363 , (B) , (C) , (D) 。

ln22ln2ln22ln2??(??1)x??1(1-x),0?x?12、 设总体X的密度函数为f(x;?)??,其中??0,X1,X2,?,Xn是来自总体

0,其它?X的样本,则参数?的矩估计量为( )。

(A)

X2XX2X , ( B) , (C) , ( D) 。 1?X1?X2?X2?X?2?X2?c??2是 3、设X1,?,Xn是来自正态总体N(?,?2)的样本,当c?( )时,?1n1n2???(Xi?X),X??Xi 。 ?的无偏估计,其中?ni?1ni?122(A)?1111 , (B) , ( C) ? , ( D ) 。 n?1n?1nn4、设随机变量X~N(?,?2),则E|X??|?[ ].

(A) 0, (B) ?, (C)

22??, (D) ?.

5、两人约定在某地相会,假定每人到达的时间是相互独立的,且到达时间在中午12时

到下午1时之间服从均匀分布,则先到者等待10分钟以上的概率为[ ].

25254711(A) , (B) , (C), (D).

367252366、设X1,X2,???,Xn是总体N(?,?2)的样本,?已知,下列几个作为?2的估计量中,

较优的是[ ].

1n1n22???(Xi?X), (B) ??2?(A) ?(Xi?X)2, ?ni?1n?1i?1211n1n?122?4????(Xi??), (D) ?(C) ?(Xi??)2. 二、?ni?1n?1i?123填空题(每小题3分,满分18分)

1、有n个白球与n个黑球任意地放入两个袋中,每袋装n个球.现从两袋中各取一 球,则所取两球颜色相同的概率为 。

2、在无线电通讯中,由于随机干扰,当发出信号为“0”时,收到信号为“0”、不清 和1的概率分别为0.7,0.2,0.1; 当发出信号为 1时,收到信号为1、不清和0

的概率分别为0.9,0.1和0.如果在发报过程中发出0和1的概率分别是0.4和 0.6。当收到信号为不清时,原发信号是1的概率为 。

3、三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹).设击中敌舰一、二、三发炮弹的概率 分别为0.6、0.5、0.3,而敌舰中弹一、二、三发时被击沉的概率分别为0.3、 0.6、0.9.则敌舰被击沉的概率为 。

4、 设随机变量X的分布函数为F(x),随机变量Y服从两点分布:

P{Y?a}?p,P{Y?b}?1?p,(0?p?1),并且X与Y相互独立,

则随机变量Z?X?Y的分布函数FZ(z)? 。

225、设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?0已知。 )的样本,?未知,?0对给定置信水平1??(0???1),满足 P{a?X???/n20?b}?1??,

即满足P{X??0nb???X??0na}?1??的实数a,b(a?b)有无穷多组,

????当a? ,b? 时,就可使得?的置信水平为1??的置信区间?X?0b,X?0a? 的

nn??长度最短。(用标准正态分布的分位点表示出所求的a,b即可。) 6、设总体X~N?,?2,

??x1,x2,?,xn为X的样本.

n1n11n2 记 x??xi ,这里规定 s??(xi?x)2,2s2?2?ni?1ni?1??(xi?1ni?x)2.

在未知方差?2, 检验假设H0:???0时,

选取检验用的统计量是 。

三、(满分12分)对同一目标进行三次独立射击,第一、二、三次射击的命中概率分别为0.4,0.5,0.7,试求:(1)在这三次射击中,恰好有一次击中目标的概率;

(2)至少有一次击中目标的概率

?2x?,0?x??、(满分12分) 已知随机变量X的概率密度为f(x)???2 ,

?0,其它?试求Y?sinX的分布函数FY(y)和概率密度fY(y). 五、(满分8分)设随机变量X的二阶矩存在,

证明:当k?EX时,E(X?k)2的值最小,最小值为DX.

六、(满分12分)设总体X~N(0,32),从此总体中取一容量为4的样本X1,X2,X3,X4,设

Y?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2,

(1)求X1?2X2服从的分布;(2)求3X3?4X4服从的分布; (3)试决定常数a,b,使随机变量Y服从?2分布. 七、(满分8分)

设 Z(t)?Xsin?t?Ycos?t ,其中?是常数, X与Y是相互独立的随机变量,

且X~N(0,1),Y~U[?3,3] , 试求:

(1)EX2,EY2; (2)E[Z(t)],E[Z(t)Z(t??)],E[Z2(t)]; (3)问Z(t)是否为广义平稳过程?

八、(满分8分)

有甲、乙两炮向同一目标轮流射击,直至有一炮击中目标为止.甲、乙两炮击中的概率分别为0.3和0.7,规定甲炮先射.以X和Y分别表示甲、乙两炮所用炮弹数. (1)试写出X的分布律,求Y的分布律; (2)求EX,EY。

九、(满分12分)

四个位置:1,2,3,4在圆周上逆时针排列.粒子在这四个位置上随机游动.粒子从任何一个位置,以概21率逆时针游动到相邻位置; 以概率顺时针游动到相邻位置;以X(n)?j表示时刻n粒子处在位置33j(j?1,2,3,4),

试作:(1)写出齐次马尔可夫链{X(n),n?1,2,?}的状态空间; (2)求齐次马尔可夫链{X(n),n?1,2,?}的一步转移概率矩阵;

(3) 求两步转移概率矩阵P(2); (4)求该齐次马尔可夫链的平稳分布. 十、(满分12分)

设X1,X2,???,Xn,???是相互独立的随机变量序列,且其分布律为

P{Xn??n}?13,P{Xn?n}?n?113,P{Xn?0}?1?n?123n?1,(n?1,2,???);

1n2记Yn??Xi,(n?1,2,???)。 (1)求EXn,EXn,DXn; (2)求EYn,DYn ;

ni?1(3)证明: 对任给??0,成立limP{|Yn|??}?1。

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