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专题9.1 直线与直线的方程

【考纲解读】

考 点 考纲内容 5年统计 分析预测 1.考查直线的斜率与倾斜角； 2.考查直线方程的几种形（1）理解平面直角坐标系，理解直线的倾斜角与斜率的直线与方程 （2）会求过两点的直线斜率. 概念，掌握直线方程的点斜式、两点式及一般式，了解直线方程与一次函数的关系. 2013?浙江文.21;理.15,21,22; 2015?浙江理.19; 2016?浙江理.19; 2017?浙江.21. 式． 3.与其它知识（如充要条件、导数的几何意义等）相结合，考查直线与方程的应用. 4.备考重点： (1) 理解直线的斜率与倾斜角的关系，掌握直线的斜率与倾斜角的求法； (2)掌握直线方程的几种形式，特别是点斜式. 【知识清单】

1.直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角

①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角?叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角?的范围为0????． 2．直线的斜率

①定义．一条直线的倾斜角?(??90)的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即

k＝tan?，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线l与x轴平行或重合时, ??0, k?tan0?0.

②过两点的直线的斜率公式．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1?x2)的直线的斜率公式为k＝y2?y1.

x2?x13.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．

4.直线的倾斜角?、斜率k之间的大小变化关系： （1）当??[0,（2）当??(对点练习：

【2017届重庆市一中高三上学期期中】已知直线方程为cos300x?sin300y?3,则直线的倾斜角为（ ）

A.60 B.60或300 C.30 D.30或330 【答案】C

???2)时，k?0,?越大，斜率越大；

?2,?)时，k?0,?越大，斜率越大.

??????

2.直线的方程

1.直线的点斜式方程：直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为k，则直线l的方程为：

y?y0?k(x?x0).这个方程就叫做直线点斜式方程.

特别地，直线l过点(0,b)，则直线l的方程为：y2.直线的两点式方程

?kx?b.这个方程叫做直线 的斜截式方程.

(x1直线l过两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中?x2,y1?y2)，则直线l的方程为：

y?y1x?x1?(x1?x2,y1?y2).这个方程叫做直线的两点式方程.

y2?y1x2?x1

当x1?x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：x?x1；当y1?y2时，直线与y轴垂直，直线方程?y1.

为：y特别地，若直线l过两点P1(a,0),P2(0,b)(ab?0)，则直线l的方程为：

xy??1，这个方程叫做直线的截距式方程.ab3.直线的一般式方程

关于x,y的二元一次方程Ax?

By?C?0（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.

AC，截距b??. BB由一般式方程可得，B不为0时，斜率k??对点练习：

【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】已知直线经过点线的方程为（ ） A. C. 【答案】A 【解析】直线经过点故选A

【考点深度剖析】

，且斜率为

，则

即

B. D.

，且斜率为，则直

高考对直线方程的考查要求较低，以小题的形式考查直线与方程，一般难度不大，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数、圆、圆锥曲线等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握直线方程的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查直线的斜率与倾斜角，二是考查直线方程的几种形式．

【重点难点突破】

考点1 直线的倾斜角与斜率

【1-1】经过两点A (4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为A.－1 B.－3 C.0 D.2 【答案】B

3?，则y＝( ) 4

【1-2】【2017届河北武邑中学高三周考】过点M??2,a?和N?a,4? 的直线的斜率为1，则实数a的值为（ ）

A．1 B．2 C．1或4 D．1或2 【答案】A 【解析】依题意有【领悟技法】

1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；

2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tan x的单调性求k的范围． 【触类旁通】

【变式一】坐标平面内有相异两点A(cos?,sin?),B(0,1)，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是 A．??24?a?1,a?1． a?2???????,? B．?0,??44??4??3?????0,?,? C．????4??4??3????3??,?,? D．????4??44?【答案】

3????? 4sin2??1?cos2?????cos??[?1,1]，且kAB?0.设直线的倾斜角为?，当0?kAB?1cos?cos?【解析】kAB时，则0?tan??1，所以倾斜角?的范围为0???斜角?的范围为

?4.当?1?kAB?0时，则?1?tan??0，所以倾

3?????. 4【变式二】已知A(2,4),B(1,1)两点，直线l过点C(0,2)且与线段AB相交，直线l的斜率k的取值范围是 . 【答案】[?1,1]

y432C1OBx123Ay43DAlD2C1Bx123l O【综合点评】

1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用

tan??k求倾斜角.

2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围． 考点2 直线的方程

【2-1】【2017届河北武邑中学高三周考】已知等边?ABC的两个顶点A?0,0?,B?4,0?，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是（ ）

A．y??3x B．y??3?x?4? C．y?3?x?4? D．y?3?x?4? 【答案】C

【解析】如图所示，直线BC额倾斜角为

?，故斜率为3，由点斜式得直线方程为y?3?x?4?. 3