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分类讨论思想在数学高考含参型函数问题中的应用

作者：夏莲 黄永明

来源：《中国·东盟博览》2013年第10期

【摘 要】数学思想方法，是数学知识内容的精神和灵魂，是对数学本质的深刻认识。高考对数学的考查实际上是对蕴含在数学知识发生、发展和应用过程中的思想方法的考查。而参数问题广泛地存在于中学数学的各种问题，纵观这三年的新课标试卷，参数问题都是附着于函数的知识出现，解决此类问题的基础是熟知函数的相关概念和性质，关键是找到分类的动机，即为什么分类，怎样分类。

【关键词】新课标；高考；分类讨论思想；参数问题 一、引言

自新课程实施以来，大多数一线教师都十分关注新课程高考会如何改革。普通高中《数学课程标准（实验稿）》明确指出要“使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界”。作为逻辑性强的学科，考试的改革不会对数学的思想方法带来太大改变。因此，在数学教学中一定要重视数学思想方法的渗透应用。其中分类讨论思想是一种重要的数学思想。

分类讨论试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性。分类讨论问题不仅是高考的重点与热点，也是高考的难点。纵观这三年的新课标试卷，关于分类讨论思想都依附在对函数的考查当中，都出现在新课标卷的倒数第二题，属中高难度题，能有效的区分学生的层次。这类试题不仅考查学生的数学基本知识与方法，而且考查了数学思维的深刻性。 二、分类讨论思想概论

分类是基本逻辑方法之一，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。[1]所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，无法用同一种方法去解决，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。使用分类讨论思想解决一个问题时，需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，再将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决。

分类讨论问题的解决都遵循比较固定的步骤。 （1）审清题意，确定分类讨论的对象和对象的范围；

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（2）确定分类的标准，合理地进行分类；

（3）逐级逐类讨论。很据划分的各类情况逐一讨论，当讨论对象不止一个时，要分清层次；

（4）归纳综合讨论。对分类的几种情况进行归纳整理，做出总结性结论。 三、含参型函数的分类讨论思想

我们先将含参型函数的问题进行分类。以命题的条件和结论的结构为标准，含参数的问题可分为两种类型。一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论；另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。[3]新课标高考中这两种类型都出现过，下面将对这三年的新课标卷关于含参型函数的分类讨论的思想的应用进行逐一分析。 四、近三年高考数学试题分析

【例1】（2010年新课标卷21题）设函数 （1）若，求的单调区间； （2）若当时，求的取值范围。 解析：（1）当时，，.

利用导数判断函数的单调性，求函数单调区间 当时，；当时， .

故在单调减少，在单调增加 （2）

由（I）知，当且仅当时等号成立.故 ，

对参数进行分类讨论： 当，即时，，而， 于是当时，.

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由可得.从而当时， ，

故当时，，而，于是当时， . 综合得的取值范围为.

总结：此题考查了导数与函数的相关知识，主要涉及利用导数判断函数的单调性，求函数单调区间以及对参数的分类讨论，第一问为给定参数的取值，确定函数解析式，再由倒数的知识探求的单调区间，正是含参型函数问题的第一种类型。而第二问则是由已知的函数性质去找符合条件的参数的取值范围，是含参型函数问题的第二种类型。这一问相对而言能完整解答的就比较少，尤其是在排除的情况时，很多同学都考虑得不够周全。

【例2】（2011年新课标卷21题）已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当，且时，，求k的取值范围。 解析：（Ⅰ）根据斜率与导数的关系可以列得 即解得，。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知。 考虑函数，则。

（i）设，由知，当时，。 而，故，当时，，可得； 当时，，可得

从而当，且时，-（+）>0，即>+.

（ii）设.由于当（1，）时，，故>0，而=0，故当（1，）时，，可得，与题设矛盾。 （iii）设.此时，而=0，故当（1，+）时，，可得，与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为（-，0].