内容发布更新时间 : 2024/12/25 0:14:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

式中v为某时刻的瞬时速度，?为此刻v与F方向的夹角 §4．5 动能 动能定理 4．5．1． 质点动能定理

质量m的质点以速度v运动时，它所具有动能Ek为:

动能是质点动力学状态量，当质点动能发生变化时，是由于外力对质点做了功，其关系是:

W外=?EK?EK1?EK2

上式表明外力对质点所做功，等于质点动能的变化，这就是质点动能定理。 4．5．2．质点系动能定理

若质点系由n个质点组成，质点系中任一质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其它质点对它作用力（内力），在质点运动时，这些力都将做功。设质点系由N个质点组成，选取适当的惯性系，对其中第i个质点用质点动能定理

Ek?12mv2

1122mv?mvii2ii1Wi外+Wi内=22

对所有n个质点的动能定理求和就有

1122?mv??mvii2ii12?Wi外+?Wi内=2

1122?mv?mvii2ii1 若用W外、W内、EK2、EK1分别表示?Wi外、?Wi内、2、2

则上式可写成

W外+ W内=EK2-EK1

由此可见，对于质点系，外力做的功与内力做的功之和等于质点系动能的增量，这就是质点系动能定理。和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系，但质点系动能定理中的W内一项却是和所选的参照系无关的，因为内力做的功取决于相对位移，而相对位移和所选的参照系是无关的。这一点有时在解题时十分有效。

§4．6 势能

4．6．1 势能

若两质点间存在着相互作用的保守力作用，当两质点相对位置发生改变时，不管途径如何，只要相对位置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。存在于保守力相互作用质点之间的，由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能变化的负值，即

W保=??EP。

（1）势能的相对性。

通常选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。原则上零势能状态可以任意选取，因而势能具有相对性。

（2）势能是属于保守力相互作用系统的，而不是某个质点独有的。 （3）只有保守力才有相应的势能，而非保守力没有与之相应的势能。 4．6．2 常见的几种势能 （1）重力势能

在地球表面附近小范围内，mg重力可视为恒力，取地面为零势能面，则h高处重物m的重力势能为

p

（2）弹簧的弹性势能

取弹簧处于原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长（压缩）x时，弹力F=-kx，弹力做的功为

E?mgh1W??kx22

由前面保守力所做功与势能变化关系可知

W???EP??(EP?0)

（3）引力势能

EP?12kx2

两个质点M、m相距无穷远处，规定EP0?0，设m从无穷远处移近M，引力做功W，

Mm2由于F引=r，大小随r变化，可采用微元法分段求和方式。如图4-5-1，取质点n由A到B，位移为?r?r1?r2，引力做功

Mm?r2r

?r 很小，rA、rB差异很小，则

GMmGMmGMmGMm?W?(r?r)?(r?r)??ABAB22rBrA rArA?W?由无穷远至距r处，引力功W为

W???Wi?GMr?(1111?)?GMm(?)ri?1rir末r初开始时r初??，最后相对距离为r末=r

W?GMmr

A?rBmrBrA图4-6-1

M又有

GMmE??PrW???EP??(EPr?E?)r

质点与均匀球体间引力势能，在球体外，可认为球体质量集中于球心，所以引力势能

为

EP??GMmr r≥R R为球半径

质量M，半径为R的薄球壳，由于其内部引力合力为零，故任意两点间移动质点m，引力均不做功，引力势能为恒量，所以质量m质点在薄球壳附近引力势能为

?GMmr?R?r?GMm?r?RE P=?R

§4．7 功能原理和机械能守恒定律

4．7．1 功能原理 根据质点系动能定理

当质点系内有保守力作用和非保守力作用时，内力所做功又可分为

而由保守力做功特点知，保守力做功等于势能增量的负值，即

W外?W内?Ek2?Ek1W内?W保?W非保W保???EP?EP1?EP2于是得到

W外?W非保?EP1?EP2?EK2?EK1

用E表示势能与动能之和，称为系统机械能，结果得到

外力的功和非保守力内力所做功之和等于系统机械能的增量，这就是质点系的功能原理。可以得到（外力做正功使物体系机械能增加，而内部的非保守力作负功会使物体系的机械能减少）。

功能原理适用于分析既有外力做功，又有内部非保守力做功的物体系，请看下题： 劲度系数为k的轻质弹簧水平放置，左端固定，右端连接一个质量为m的木块（图4-7-1）开始时木块静止平衡于某一位置，木块与水平面之间的动摩擦因数为?。然后加一个水平向右的恒力作用于木块上。（1）要保证

k在任何情况下都能拉动木块，此恒力F不得小于多少？（2）用这

mF个力F拉木块，当木块的速度再次为零时，弹簧可能的伸长量是

o多少？

图4-7-1 题目告知“开始时木块静止平衡于某一位置”，并未指明

确切的位置，也就是说木块在该位置时所受的静摩擦力和弹簧的

形变量都不清楚，因此要考虑各种情况。如果弹簧自然伸展时，木块在O点，那么当木块在O点右方时，所受的弹簧的作用力向右。因为木块初始状态是静止的，所以弹簧的拉力不能大

W外?W非保?（EK2?EP2)?(EK1?EP1)W外?W非保?E2?E1于木块所受的最大静摩擦力mg?。要将木块向右拉动，还需要克服一个向左的静摩擦力mg?，所以只要F≥2mg?，即可保证在任何情况下都能拉动木块。

设物体的初始位置为x0，在向右的恒力F作用下，物体到x处的速度再次为零，在此过程中，外部有力F做功，内部有非保守力f做功，木块的动能增量为零，所以根据物体系的功能原理有

F(x?x0)??mg(x?x0)?F??mg?可得

1212kx?kx022

1k(x?x0)2x?2(F??mg)?x0k

因为木块一开始静止，所以要求

??mg?mgk≤x0≤k

可见，当木块再次静止时，弹簧可能的伸长是

?mg3mg? k≤x≤k

4．7．2 机械能守恒定律

非保 若外力的与非保守内力的功之和为零时，外则系统机械能守恒，这就

是机械能守恒定律。

注意：该定律只适用于惯性系，它同时必须是选择同一惯性参照系。在机械能守恒系统中，由于保守内力做功，动能和势能相互转化，而总的机械能则保持不变。

下面介绍一例由机械能守恒推出的重要定理：伯努利方程

理想流体 不可压缩的、没有粘滞性的流体，称为理想流体。

定常流动 观察一段河床比较平缓的河水的流动，你可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化。河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变。河水的这种流动就是定常流动。流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动就叫做定常流动。自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看

C做定常流动。流体的流动可以用流线形象地表示。

A在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹。图

4-7-2是液体流过圆柱体时流线的分布。A、B处液体

B流过的横截面积大，CD处液体流过的横截面积小。

D液体在CD处流得急，流速大。AB处的流线疏，CD

处的流线密，这样，从流线的分布可以知道流速的大小。流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流图4-7-2

W?W?0