内容发布更新时间 : 2024/12/25 12:48:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
复系数来表征碰撞性质。恢复系数e定义为
e?v2?v1v10?v20
①弹性碰撞, e=1。
②完全非弹性碰撞 v2?v1,e=0。 ③一般非弹性碰撞 0<e<1。 (4) 斜碰
两物碰撞前后不在一条直线上,属于斜碰,如图4-9-1所示 设两物间的恢复系数为e,设碰撞前m1、m2速度为v10、v20,
其法向、切向分量分别为v10n、v20n、v10?、v20?,碰后分离速度v1、v2,法向、切向速度分量v1n、v2n、v1t、v2t,则有
e?v2n?v1nv10n?v20n
若两物接触处光滑,则应有m1、m2切向速度分量不变 v1t?v10t、v2t?v20?
若两物接触处有切向摩擦,这一摩擦力大小正比于法向正碰力,也是很大的力,它提供的切向冲量便不可忽略。
§4.9 质心及质心运动
4.9.1 质心及质心位置
任何一个质点系中都存在着一个称为质心的特殊点,它的运动与内力无关,只取决于外力。当需要将质点组处理成一个质点时,它的质量就是质点组的总质量。当需要确定质心的运动时,就设想把质点组所受的全部外力集中作用在质心上。
注意:质心是一个假想的质点。
?min设空间有N个质点,其质量、位置分别记作、,质量组质心记为C,则质量、位置。 mC??mi
在x、y、z直角坐标系中,记录质心的坐标位置为
xC??mixi?mi ?miyiyC??mi
?mizi?mi
4.9.2、质心的速度、加速度、动量
zC??????re?mi?ri/?t?mivivc????t?mi?mi,在空间直角坐标系中,质心速度可表达为
质心速度vcx??mivix?mi ?miviy?mi ?mivizvcz??mi
???v??mvp?mcii质心的动量等于质点组中各个质点动量的矢量和。 质心的动量,i?质心的加速度a
??vi??mi??ma??vc?i?iiac???t?mi?mi ????Fi?F1ac???mimc
??mcac??Fi
由上式可见,当质点组所受合外力为零时,质心将保持静止状态或匀速直线运动状态。 同样,质点组的动量定理也可表述为
vcy?????Ii?mcvc2?mcvc1
外力的冲量的矢量和等于质心动量的增量。 4.9.3、质心的动能与质点组的动能
以二个质点为例,质量m1、m2两质点相对于静止参照系速度v1、v2,质心C的速度
vC,
??vv12二质点相对于质心速度是和,可以证明有
1122m1v1?m2v222
112?21?2?mCvC?m1v1?m2v222 2
?EK?EKC?EK EK?即二个质点的总动能等于质心的动能与两质点相对质心动能之和。
§4.10天体的运动与能量
4.10.1、天体运动的机械能守恒
二体系统的机械能E为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动
时,则E为系统的万有引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用,系统内万有引力属于保守力,故有机械能守恒,E为一恒量,如图4-10-1所示,设M天体不动,m天体绕M天体转动,则由机械动能守恒,有
E??GMm1?GMm122?mv1???mv2r12r22
v1v2r2当运动天体背离不动天体运动时,EP不断增大,而EK将不断减小,可达无穷远处,此时EP?0而EK≥0,则应满
足E≥0,即
r1M?GMm12?mv?0r2
例如从地球发射人造卫星要挣脱地球束缚必有
?GMm12?mv?0R2 2GMv??2Rg?11.2kmsR v我们称=11.2km/s为第二宇宙速度,它恰为第一宇宙速度为
图4-10-1
2倍。
另外在上面的二体系统中,由于万有引力属于有心力,所以
对m而言,遵循角动量守恒
yb?av2??mv?r?恒量
或 mvr?sin??恒量
OM(?,0)ax?bv1?是v与r方向的夹角。它实质可变换得到开普勒第二定律,
即行星与恒星连线在相等时间内扫过面积等。
图4-10-2 4.10.2、天体运动的轨道与能量
若M天体固定,m天体在万有引力作用下运动,其圆锥曲线可能是椭圆(包括圆)、抛物线或双曲线。
i)椭圆轨道
如图4-7-1所示,设椭圆轨道方程为
x2y2??1a2b2 (a>b)
22c?a?b则椭圆长,短半轴为a、b,焦距,近地点速度v1,远地点速度v2,则有
1GMm1GMm22E?mv1??mv2?2a?c2a?c mv1(a?c)?mv2(a?c)
或由开普勒第二定律:
11v1(a?c)?v2(a?c)2 2
可解得
??v1?(a?c)GM/(a?c)?a???v2?(a?c)GM/(a?c)?a
代入E得
E??GMm?02a
ii)抛物线
设抛物线方程为
y?Ax2
1太阳在其焦点(4A)处,则m在抛物线顶点处能量为
1GMm122E?mv0??mv0?4AGMm122()4A
112??mv0/??GMm/()22A,则有4A得到 可以证明抛物线顶点处曲率半径
0,v0?8AGM
抛物线轨道能量
ybcO1E?m?(8AGM)?4AGM?02
iii)双曲线 设双曲线方程为
CDaF(c,0)xx2y2??1图4-10-3 a2b2
22焦距c?a?b,太阳位于焦点(C,0),星体m在双曲线正半支上运动。如图4-10-3
所示,其渐近线OE方程为y=bx/a,考虑m在D处与无穷远处关系,有
1GMm122mv0??mv?2c?x2
考虑到当r??,运动方向逼近渐近线,焦点与渐近线距FC为 E?FC?cb/a2?b2?b
故有
11vD(c?a)?v??b22 或 mvD(c?a)?mv??b