内容发布更新时间 : 2024/5/23 18:12:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

经济数学基础作业4

（一）填空题 1.函数f(x)?4?x?1的定义域为___________________

ln(x?1)求初等函数的定义域，一般要满足： （1） 分式中分母的表达式不为零； （2） 根式中偶次根号下的表达式大于或等于零； （3） 对数中真数的表达式大于零。 ?4?x?0?解：要使f(x)有意义，则要求?x?1?0，

?x?1?1??x?4?解不等式组得：?x?1，

?x?2?因此，定义域为(1,2)?(2,4]。

2. 函数y?3(x?1)的驻点是________，极值点是 ，它是极 值点. 解：y??3?2(x?1)(x?1)?=6(x?1)

令y??0得：x?1

1． 使f?(x)?0的点称为函数f(x)的驻点。 2． 设f?(x0)?0，且f??(x0)?0 （1） 若 f??(x0)?0，则x0为极小值点； （2） 若 f??(x0)?0，则x0为极大值点。 ?p22y???6?0

因此，所求驻点是x?1，

极值点是x?1，它是极小值点。

3.设某商品的需求函数为q(p)?10e，则需求弹性Ep? .

?p2p解：有弹性公式Ep?q??qp10e?p2(10e)?=

p10e?p2?10e?p21p?(?)??。

22?x1?x2?04.若线性方程组?有非零解，则?=

x??x?02?1?1?1??1?1?解：系数矩阵A???1??????0??1??

???? 当方程有非零解，则r(A)?2（未知量个数）， 则???1。

齐次方程组AX?0有非零解r(A)?n，的充分必要条件为：（n为方程组中未知量的个数）。 16??11??，则t__________时，方程组有唯

325. 设线性方程组AX?b，且A?0?1????00t?10??一解.

解：要使线性方程组AX?b有唯一解，则要求r(A)?r(A)?n（方程未知量个数）， 因此，当t??1时，r(A)?r(A)?3，方程组有唯一解。

（二）单项选择题

1. 下列函数在指定区间(??,??)上单调增加的是（

）．

A．sinx B．e x C．x 2 D．3 – x

解：函数sinx ， e x ， x 2均为基本初等函数，由它们的性质知： 函数e x在区间(??,??)上是单调增加。 该题正确答案为：B． 2. 设f(x)?1，则f(f(x))?（ ） x112A． B．2 C．x D．x

xx解：因为f(x)?111，则f(f(x))?f()?1?x，

xxx该题正确答案为：C．

3. 下列积分计算正确的是（ ）．

x?x1e?eex?e?xdx?0 B．?dx?0 A．??1?1221C．

?1-1xsinxdx?0 D．?(x2?x3)dx?0

-1a1解：注意到：定积分

?a?f(x)dx，

a（1）当f(x)为奇函数时，则

a?a?f(x)dx?0；

a（2）当f(x)为偶函数时，则

?a?f(x)dx?2?f(x)dx。

0ex?e?xe?x?e?(?x)e?x?ex?答案A中设f(x)?，f(?x)?=?f(x)，

222ex?e?xdx?0， 因此，??121该题正确答案为：A．

4. 设线性方程组Am?nX?b有无穷多解的充分必要条件是（ ）．

A．r(A)?r(A)?m B．r(A)?n C．m?n D．r(A)?r(A)?n 解：该题正确答案为：D．

?x1?x2?a15. 设线性方程组??x2?x3?a2，则方程组有解的充分必要条件是（ ??x1?2x2?x3?a3A．a1?a2?a3?0 B．a1?a2?a3?0

C．a1?a2?a3?0 D．?a1?a2?a3?0

?110a1??110a1?解：A???011a?2?121a??????011a?2?

?3????011a3?a1???110a1??????011a?2

???000a3?a1?a2??方程组有解的充分必要条件是：r(A)?r(A)， 即a3?a1?a2?0，即a1?a2?a3?0， 该题正确答案为：C． 三、解答题

1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) y??ex?y

解：原方程变形为：e?ydy?exdx 方程两边积分得：?e?ydy??exdx

?e?y?ex?c即为方程通解 .

（2）dyxexdx?3y2

解：原方程变形为：3y2dy?xexdx 方程两边积分得：?3y2dy??xexdx

． ）

y3?xdex?xex?exdx?xex?ex?c

?x? y?xe?e?c即为方程通解 . 2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）y??3x2y?x3 x?p(x)dxp(x)dx(q(x)e?dx?c) 解：由一阶线性微分方程通解公式：y?e??得原方程通解： y?e2?(?)dxx?(?xe3?(?x)dx2dx?c)

=e2lnx(x3e?2lnxdx?c)

?=x(x?22?31dx?c) x2x2=x(?c)

2（2）y??y?2xsin2x x?p(x)dxp(x)dx(q(x)e?dx?c) 解：由一阶线性微分方程通解公式：y?e??得原方程通解： y?e =e1?(?)dxx?(?2xsin2xe?(?x)dx1dx?c)

lnx(?2xsin2xe?lnxdx?c)

=x(2sin2xdx?c) =x(?cos2x?c) 3.求解下列微分方程的初值问题： (1) y??e2x?y?,y(0)?0

y2x解：原方程变形为：edy?edx 方程两边积分得：edy?edx

?y?2x12xe?c即为方程通解 21100将y(0)?0代人通解得：e?e?c则c?

2212x1y因此，原方程特解为：e?e?

22 e?y(2)xy??y?e?0,y(1)?0

xyex解：原方程变形为：y???

xx?p(x)dxp(x)dx(q(x)e?dx?c) 由一阶线性微分方程通解公式：y?e??11得方程通解：y?e??xdx(?ex?xdxxedx?c) =e?lnx(?exxelnxdx?c) 1ex =x(?x?xdx?c)?1x(ex?c)

将y(1)?0代人通解得：0?11(e?c)，则c??e 原方程特解为：y?1x(ex?e) 4.求解下列线性方程组的一般解：

?x1?2x3?x4?0（1）???x1?x2?3x3?2x4?0

??2x1?x2?5x3?3x4?0?解： A??102?1???11?32????102?1??1001?11???01????2?15?3??????0?11?1????00所以，方程的一般解为

??x1??2x3?x4（其中?xx1,x2是自由未知量） 2?x3?x4

?2x1?x2?x3?x4?1（2）??x1?2x2?x3?4x4?2

??x1?7x2?4x3?11x4?5?2?1111??解：A???12?142?12?142?????2?1111?

?17?4115????????17?4115???12?142?2??????0?53?7?3??12?14????0?53?7?3?

??05?373???????00000??2?1??11?00???