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复变函数的积分习题二答案

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习题二解答

1．利用导数定义推出：

1 1 n n?1 ? ? 1)( )' ,( ) 2 '

z nz n是正整数； ）? ? ? 2 z z ? ?

n (z +?z)n ?zn n?1 n?1 n?1

证 1 ）(z )' lim lim(nz +C ?z +?z ) nz

z z ?→0 ?z ?→0

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。2 n?2 z n 演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

1 1 ?

1 1 1

? ? z +?z z

2 ）? ?' lim z ?→z 0 ?z ? ?

2．下列函数何处可导？何处解析？

2 3 3

（1）f (z ) x ?i y 2x =+3y i

() 2 2

（3）f z xy +ix y sin xchy +i cosxshy

?u ?u 解 （1）由于 2x, ?x ?y 精心收集 精心编辑 精致阅读 ?lim =? 2 ?→z 0 z(z +?z) z （2 ）f (z) （4 ）f (z) ?v ?v 0, 0, ?1 ?x ?y

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1

( )

在z 平面上处处连续，且当且仅当x ? 时，u,v 才满足C-R 条件，故f z u +i v x ?i y 仅在 2 1

直线x ? 上可导，在z 平面上处处不解析。 2

?u 2 ?u ?v ?v 2

（2 ）由于 6x ， 0 ， 0 ， 9y

?x ?y ?x ?y

在z 平面上处处连续，且当且仅当 2 2

2x 3y ,即 2x ± 3y 0 时，u,v 才满足C-R 条件，故

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3 3

f z u =+iv 2x =+3y i 仅在直线 2x ± 3y 0 上可导，在z 平面上处处不解析。 ( )

?u 2 ?u ?v ?v 2 （3）由于 y ， 2xy ， 2xy ， x

?x ?y ?x ?y

在z 平面上处处连续，且当且仅当z=0 时，u,v 才满足C-R 条件，故 () 2 2

f z xy +i x y 仅在点z 0

处可导，在z 平面处处不解析。

?u ?u ?v ?v

（4 ）由于 cosxchy ， sin xshy ， =?sin xshy ， cosxchy

?x ?y ?x

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?y

在z 平面上处处连续，且在整个复平面u,v 才满足C-R 条件，故f (z) sin xchy +i cosxshy 在

z 平面处处可导，在z 平面处处不解析。

3．指出下列函数f (z) 的解析性区域，并求出其导数。 1）(z ?1)5 ； （2 ）z3 +2iz ；

1 az +b

3） ； （4 ） 中至少有一个不为

2 (c,d 0)

z ?1 cz +d ′ 4 ()

解 （1）由于f z 5(z =?1) ，故f z 在z 平面上处处解析。

( )

′( ) 2 ()

（2 ）由于f z 3z +2i ，知f z 在z 平面上处处解

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