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北京市西城区2018—2019学年度第二学期期末试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1. B 2. D 3. B 4. D 5. A 6. A 7. C 8. B 9. D 10. B

高二数学参考答案 2019.7

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 0 12. 60

13. 5 14. f(x)?x3 或f(x)?1等，答案不唯一 15. 3.5625 16. ①③

注：16题选对一个正确结论得3分，错选不得分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知f?(x)?x2?2x?b， ……………………3分

所以 f?(2)?4?4?b??3，

所以 b??3. ……………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f?(x)?x2?2x?3，

解f?(x)?0，得x??1或x?3，

解f?(x)?0，得?1?x?3. ……………………9分 所以函数f(x)的单调递增区间为(??,?1)，(3,??)，单调递减区间为(?1,3).

……………………13分 18. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）不妨设元件经A,B,C三道工序加工合格的事件分别为A,B,C.

所以P(A)?123111,P(B)?,P(C)?.P(A)?,P(B)?,P(C)?. …………2分

323424设事件D为“生产一个元件，该元件为二等品”. 由已知A,B,C是相互独立事件.

根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，

6

P(D)?P(ABC?ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC) ………………6分

123123123?(1?)????(1?)????(1?)

234234234?11.24

11. ……………………8分 24所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为（Ⅱ）生产一个元件，该元件为一等品的概率为

1231p????. ……………………9分

2344设事件E为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，则

31212P(E)?C3()??()3 ……………………12分

444?105?. 64325. ……………………13分 32所以至少有2个元件是一等品的概率为

19.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）f?(x)?ex?(x?a)ex?(x?a?1)ex. ……………………2分

由f?(x)?0，解得x??a?1； 由f?(x)?0，解得x??a?1.

所以函数f(x)的单调减区间为(??,?a?1)，单调增区间为(?a?1,??). ………4分 （Ⅱ）① 当?a?1?4，即a??5时，

f(x)在[0,4]上单调递减，

所以f(x)min?f(4)?(a?4)e4. ……………………7分 ② 当?a?1?0，即a??1时， f(x)在[0,4]上单调递增，

所以f(x)min?f(0)?a. ……………………10分

③ 当?5?a??1时，

7

x (0,?a?1) ? ?a?1 (?a?1,4) ? f?(x) f(x) 0 极小值 所以f(x)min?f(?a?1)??e?a?1??1ea?1. ……………………13分

综上，当a??5时，f(x)min?(a?4)e4；当a??1时，f(x)min?a；当?5?a??1时，

f(x)min??1ea?1.

20.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知a?b?14 ，所以b?14?a. ……………………1分

?9?6?6?a,依题意， ? ……………………3分

9?6?7?b,??9?6?6?a,即 ? 解得 6?a?9，又a?N，

9?6?7?(14?a),?所以 a?7，a?8. ……………………4分 （Ⅱ）由已知，随机变量X是高一（1）班同学中投票给地理学科的人数，

所以X?0,1,2. ……………………5分

3C65P(X?0)?3?， ……………………6分

C81421C6C215P(X?1)??， ……………………7分 328C812C6C23P(X?2)??. ……………………8分 328C8X P 0 5 141 15 282 3 28……………………9分

8

E(X)?0?51533?1??2??. ……………………10分 1428284（Ⅲ）a?7或a?8. ……………………13分 21.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ） 当a??1时，f(x)?ex?lnx?x，x?0.

所以f?(x)?ex?1?1， ……………………2分 x所以 f(1)?e?1，f?(1)?e，

曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?(e?1)?e(x?1)，

整理得 ex?y?1?0. ……………………4分 （Ⅱ）因为f(x)?ex?alnx?x，x?0.

axex?x?a所以f?(x)?e??1?， ……………………6分

xxx依题意，f?(x)在区间(0,1)上存在变号零点. ……………………7分 因为x?0，设g(x)?xex?x?a，所以g(x)在区间(0,1)上存在变号零点. ……8分 因为g?(x)?ex(x?1)?1， ……………………9分 所以，当x?(0,1)时，ex?1，x?1?1，所以ex(x?1)?1，即g?(x)?0，

所以g(x)在区间(0,1)上为单调递增函数， ……………………12分 ?g(0)?0,??a?0,依题意， ?即? ……………………13分

g(1)?0,e?1?a?0.? ?解得 0?a?e?1. ……………………14分 所以，若f(x)在区间(0,1)上存在极值点，a的取值范围是(0,e?1).

22.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）当a?0时，定义域为{x|x?0}.

因为f(x)?lnx1?lnx，所以f?(x)?. ……………………1分 xx2令f?(x)?0，解得x?e，

x (0,e) e (e,??) 9

f?(x) f(x) + 0 极大值 ? 所以f(x)在区间(0,e)上单调递增，在区间(e,+?)上单调递减. ……………3分

1所以f(x)有极大值，极大值为f(e)?；没有极小值. ……………………4分

e（Ⅱ）因为x?0，所以在(1,??)上f(x)?0恒成立，即lnx?ax2?ax?0在(1,??)恒成立. ……………………5分

设g(x)?lnx?ax2?ax.

①当a?0时，g(2)?ln2?2a?0，不符合题意. ……………………7分 ②当a?0时，

12ax2?ax?1. ……………………8分 g?(x)??2ax?a?xx令g?(x)?0,即2ax2?ax?1?0，

因为方程2ax2?ax?1?0的判别式??a2?8a?0，两根之积

1?0. 所以g?(x)?0有2a两个异号根. 设两根为x1,x2，且x1?0?x2， ……………………9分

i）当x2?1时， x g?(x) g(x) (1,x2) x2 (x2,??) + 0 极大值 ? 所以g(x)在区间(1,x2)上单调递增，在区间(x2,+?)上单调递减，

所以g(x2)?g(1)?0，不符合题意； ……………………10分 ii）当x2?1时，g?(1)?0，即a??1时，

g(x)在(1,??)单调递减，所以当x?(1,??)时，g(x)?g(1)?0，符合题意.

综上，a??1. ……………………11分

（Ⅲ）当a?0或a??1时，f(x)有1个零点；当a?0且a??1时，函数f(x)有2个零点.

……………………14分

10