内容发布更新时间 : 2024/11/15 11:50:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第五讲 直线的一般式方程

[学习目标]

1.掌握直线的一般式方程.

2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式. 3.会进行直线方程不同形式的转化. [知识链接]

1.过点A(x0，y0)分别垂直于x轴，y轴的直线方程为x＝x0，y＝y0. 2.直线的点斜式方程：y－y0＝k(x－x0). 直线的两点式方程：[预习导引]

1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋

y－y1x－x1

＝(x≠x，y≠y). y2－y1x2－x11212

C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.

2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；ABCBCC当B＝0时，在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－

AAC. B3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x，y的二元一次方程.

(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列. (3)x的系数一般不为分数和负数.

(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 典型例题

要点一 直线的一般式与其他形式的转化

4

例1 (1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是( )

3A.3x＋4y＋7＝0 C.4x＋3y－42＝0

B.4x＋3y＋7＝0 D.3x＋4y－42＝0

(2)直线3x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( ) A.3 9C. 5

答案 (1)B (2)D

4

解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项.

34

又y＝－x＋14过点(0,14)即直线过第一象限，

3所以只有B项正确. (2)令y＝0则x＝－33.

规律方法 (1)一般式化为斜截式的步骤： ①移项得By＝－Ax－C；

②当B≠0时，得斜截式：y＝－x－. (2)一般式化为截距式的步骤： 方法一：

①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C； ②当C≠0时，方程两边同除以－C，得③化为截距式：＋＝1.

CC－－

B.－5 D.－33

ABCBAxBy＋＝1； －C－CxyAB方法二：

①令x＝0求直线在y轴上的截距b； ②令y＝0求直线在x轴上的截距a；

xy③代入截距式方程＋＝1.

ab

由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.

跟踪演练1 已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图形.

解 因为直线l经过点A(－5,6)，B(－4,8)，

y－6x＋5所以由两点式，得＝，

8－6－4＋5整理得2x－y＋16＝0，化为截距式得

x－8

＋y16

＝1，

所以直线l的一般式方程为2x－y＋16＝0，截距式方程为图形如图所示：

x－8

＋

y16

＝1.

要点二 直线方程的应用

例2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直.

3

解 方法一 l的方程可化为y＝－x＋3，

43

∴l的斜率为－. 4

3

(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.

4

3

又∵l′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，

4即3x＋4y－9＝0.

4

(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1,3)，

34

由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，

3