内容发布更新时间 : 2025/1/4 17:19:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第十一章 曲线积分与曲面积分
第三节 Green公式及其应用
1．利用Green公式，计算下列曲线积分： (1)
2222L，其中为正向圆周x?y?9； xydy?xydx?L解：由Green公式，得
22223xydy?xydx?(x?y)dxdy?2d?r?????dr?LD002?381?， 2其中D为x2?y2?9。 (2)
yy(e?y)dx?(xe?2y)dy，其中L为以O(0,0),A(1,2)及B(1,0)为顶点的三角形负向边界； ?L解：由Green公式，得
yyyy(e?y)dx?(xe?2y)dy??(e?e?1)dxdy???dxdy?1。 ???LDD*(3)
??xL2其中L为x2?y2?6x的上半圆周从点A(6,0)到点O(0,0)及x2?y2?3x的上半圆周ydx?xy2dy，
从点O(0,0)到点B(3,0)连成的弧AOB；
解：连直线段AB，使L与BA围成的区域为D，由Green公式，得
???xydx?xydy???(y?x)dxdy?LD2222BA??xydx?xydy??2d??0226cos?3cos?r3dr?0
?15241543?543cos?d???3????36??4044?2264?*(4)
?Lydx?xdy22，其中L为正向圆周x?(y?1)?4. 22x?yx2?y2?P?Q解：因为，(x,y)?(0,0)。作足够小的圆周l:x2?y2?r2,取逆时针方向，记L与l围成的??222?y?x(x?y)闭区域为D，由Green公式，得
L?l?ydx?xdy?0，故
x2?y2?Lydx?xdyydx?xdy???22?x2?y2x?yl2?22220?l?ydx?xdyr2??
?rsin??rcos?d???2?r2
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2．计算下列对坐标的曲线积分：
?ex(1?2cosy)dx?2exsinydy，其中L为曲线y?sinx上由点A(?,0)到点O(0,0)的一段弧；
L解：P?ex(1?2cosy),Q?2exsiny，
?P?y?2exsiny??Q?x， 故积分与路径无关，取A(?,0)经x轴到点O(0,0)的一条路径， 从而 原式=
x(1?2cosy)dx?2exsinydy??0xAO?e??edx?e??1。
*3．设函数f(u)具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L，有
?Lf(xy)(ydx?xdy)?0.
证明：
?P?y??Q?x?f(xy)?xyf?(xy)，记L围成的闭区域为D, 由Green?Lf(xy)(ydx?xdy)???0dxdy?0.
D
第四节 对面积的曲面积分
1．填空题：
(1) 设?为球面x2?y2?z2?1，则
??dS? 4? ；
?(2) 面密度?(x,y,z)?3的光滑曲面?的质量M? 3 .
???dS2．计算下列对面积的曲面积分： (1)
??(2x?y?2z)dS，其中?为平面x?y?z?1在第一卦限的部分；
?解：Dxy?{(x,y)|x?y?1,x?0,y?0}，z?1?x?y，dS?3dxdy
原式=??(2x?y?2(1?x?y))3dxdy?311?xD?0dx?0(2?y)dyxy
?3?131530(2?x?2x2)dx?6(2)
??zdS，其中?为z?1?2(x2?y2)(z?1)的部分； 解：D2xy?{(x,y)|x?y2?2}?{(r,?)|0?r?2,0???2?}，
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公式，得dS?1?x2?y2dxdy
2112?原式???(x2?y2)1?x2?y2dxdy??d??r31?r2dr0220Dxy??
?2?203[(r2?1)?1]1?r2dr23/2
?2?0[(1?r)2?1?r2]dr2?2?(63?1)15*(3)
dS，其中?为x?y?z?1,x?0,y?0,z?0围成四面体的整个边界. 2???(1?x?y)解：???1??2??3??4， 其中
??1:z?1?x?y,Dxy:x?y?1,dS?3dxdy， :x?0,Dyz:y?z?1,dS?dzdy，
2??3:y?0,Dzx:x?z?1,dS?dxdz， :z?0,Dxy:x?y?1,dS?dxdy。
4原式??1??????dS????????(1?x?y)2?2?3?43dxdydydzdxdzdxdy?????(1?y)2D??(1?x)2D??(1?x?y)2(1?x?y)2DDxyyzzxxy11?x001dydy?(1?x?y)2?0(1?y)2?(3?1)?dx??1?y01?xdxdz??dz
0(1?x)2?01111?y11?(3?1)?(?)dx?2?dy201?x02(1?y)?(3?1)ln2?
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