内容发布更新时间 : 2024/6/20 19:47:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题一：一元二次方程

知识要点扫描归纳

一 基本概念

1. 方程定义：含有未知数的等式叫方程。 2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3. 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 4.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式为 ax?bx?c?0（a?0）. 二、一元二次方程的解法 1．直接开方法

（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解. 2．配方法

（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方法.

（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：

2a2?2ab?b2?(a?b)2

（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解. 3．公式法

（1）用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法.

?b?b2?4ac（2）一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)求根公式是：x?

2a2（3）在解一元二次方程时，先把方程化为一般开式，确定a,b,c的值，在b?4ac?0的情况下：代入求根公式即可求解. 4.因式分解法

1． 对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。

2． 理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。例如：如果(x?1)(x?5)?0，那么x－1=0或x＋5=0。因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。

23． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1）将方程的右边化为零；

（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积； （3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

4．形如ax?bx?0?a?0?的方程，可用提公因式法求方程的根：x1?0，x2??222b?a?0?。 a225．形如?ax?m???bx?n??0(a?b)的方程，可用平方差公式把左边分解。

三、一元二次方程根的判别式：

2一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根的判别式??b?4ac：

2 （1）??0?方程有两个不等实数根． （2）??0?方程有两个相等实数根． （3）??0?方程无实数根．

（4）??0?方程有两个实数根．

※ 运用根的判别式时要注意：关于x的方程ax?bx?c?0有两个实数根和实数根的区别在于：若有两个实数根，则??0，且a?0．若有实数根，则分两种情况：①a?0，??0；②a?0 四、一元二次方程根与系数关系（韦达定理）

2bc 1．若一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两个实数根为x1,x2，则x1?x2??,x1?x2?

aa 2．以x1,x2为根的一元二次方程可写成x??x1?x2?x?x1x2?0

2 3．使用一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的根的判别式??b?4ac解题的前提是二次项系数

22a?0

4．不解方程，求关于一元二次方程的两个实数根x1,x2的对称式的值的方法是先将式子化成只含

x1?x2，x1x2的形式，然后利用根与系数的关系代入求值．要特别注意如下公式：

（1）x1?x2??x1?x2??2x1x2； （2）

22222x?x211??1； x1x2x1x2333 （3）?x1?x2???x1?x2??4x1x2； （4）x1?x2??x1?x2??3x1x2?x1?x2?； （5）x1?x2?22?x1?x2?2?4x1x2； （6）x1?x2???x1?x2?2?4x1x2；

（7）x1x2?x1x2?x1x2??x1?x2?； （8）x1?x2??x1?x2?2?2x1x2?2x1x2．

五、实际应用：

1、知识结构

2、知识要点归纳

由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.

从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”. （1） 加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁. （2） 加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是

学生所能接受的.

（3） 加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证

的意识就可以了.

3 解一元二次方程的数学应用题的一般步骤

（1） 找——找出题中的等量关系 （2） 设——设未知数

（3） 列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式 （4） 解——解出所列的方程

（5） 验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验 （6） 答——作答下结论 4、中考改革趋势

一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.

考点回放

1 考察一元二次方程概念

1．(年鄂尔多斯)下列方程不是整式方程的是（ ） A、

x?311?x? D、7m2?1 ?3 B、2x2y?7xy?z2?0 C、

2x?27?32．(年湖北随州)下列方程不是一元二次方程的是（ ）

2A、6y?2y?1?0 B、

123m?1?m 25C、

1213p?p??0 D、x2+x-1=x2 1064m3．(年陕西西安)方程(m?2)x?3mx?1?0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）

A、m??2 B、m?2 C、m=-2 D、m??2