内容发布更新时间 : 2024/12/22 15:13:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

I1??mi?y2i?z2i??222m1m22h?i?A,B,D?

2m1?m2m1a2?i?A,B,D? I2??mi?zi?xi??22m1m22m1a2?i?A,B,D? I3??mi?xi?yi??h?2m1?m2222

3.7解 如题3.7.1图所示。

ybacz题3.7.1图

x沿y轴平行于Oxy平切椭球得切面为一椭圆，则该椭圆方程为：

x2?y??a?1?2??b??22?z2?y??c?1?2??b??22?1

可求该切面的面积

S?y??y2?

??ac??1?b2????故积分

?y2?4??ydm?yS??dy?y?ac1??dy???ab3c ???b?y???b?b2?15??2b2b2同理可求

2x?dm?44??a3bc,?z2dm???abc3 1515故中心主转动惯量：

I1???y2?z2?dm?I2???x2?z2?dm?4??abc?b2?c2? 154??abc?a2?c2? 15I3???x2?y2?dm?4??abc?a2?b2? 15又由于椭球体积

?y2?4?V??S?y?dy???ac?1?dy??abc 2???b?b3?b?bb故

??将?代入I1,I2,I3得：

I1?I2?m3m

?V4?abc1m?b2?c2? 51m?a2?c2? 5I3?1m?a2?b2? 53.8解 设dm表示距球心为r的一薄球壳的质量，则

2??r22??dr 1??dm??r?dr???0r?2?R??所以该球对球心的转动惯量

I??rdm???0?0R2R0?r2?57?5? ① ?r?1??dr???R0?R2?35??4在对称球中，绕直径转动时的转动惯量

I??2② I3又球的质量

m??dm???0?0RR0?r2?35?3? ③ ?r?1??dr???R0?R2?15??2又绕直径的回转半径

k?由①②③④得

I?④ mk?14?10?

R35?21?

3.9解 如题3.9.1图所示Oxyz坐标系。

dydzox

z题3.9.1图O为正方体中心。Ox、Oy、Oz分别与正方体的边平行。由对称性可知，Ox、Oy、Oz轴就是正方体的中心惯量主轴。设正方体的边长为a。设为平行于轴的

一小方条的体积，则正方体绕轴的转动惯量

Ixx??根据对称性得

aa22aa??22??a?y2?z2?dydz?m2

a6Iyy?Izz?Ixx?m2 a6易求正方体的对角线与Ox、Oy、Oz轴的夹角都为?。且

cos??1 3故正方体绕对角线的转动惯量

I?Ixxcos2??Iyycos2??Izzcos2??m2① a6又由于

d?3a②

绕对角线的回转半径

k?由①②③得

k?I③ md 32

3.10解 如题3.10.1图。

drd?ro?r

题3.10.1图z轴过O点垂直纸面向外。均质圆盘的密度为?。设盘沿顺时针转动，则沿z的

方向有dIz?Mz

dt即

?z?Mz① I?I为转盘绕z轴的转动惯量：I?1， ma2（m为盘的质量）2?z??? ②

（?为盘转动的角频率，负号因为规定顺时针转动）

Mz??2?0?a0?g?r2d?dr?2?2?g?a3=?g?ma?m???a2?③ 33由①②③得

????4?g

3a又因为

??0???0,

故

??t???0?所以

4?g

t3a??t??0,

得

t?3a?0 4?g

3.11解 如题3.11.1图所示，

?0?o 题3.11.1图设z轴通过O点垂直纸面指向外。则对z轴有：

dz?MZ dt设通风机转动的角速度大小为??t?，由于通风机顺时针转动。所以?z????t?，将

??t??k??t?。又由于???0????0?，解得： z??I??t?,Mz?k??t?代入上式得： ?I???t???0ek?tI

? （?为通风机转动的角度） 故当??t???0时，t?I㏑2。又由于??????t?t2k