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第2讲 一元二次方程应用

第一部分 知识梳理 知识点一：根的判别式 1、了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）?=b2?4ac

（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax2?bx?c?0（a?0）

?a?0①、当?方程有实数根； ????0时?a?0当??方程有两个不相等的实数根；

??0时??a?0当??方程有两个相等的实数根；

??0时??a?0②当??方程无实数根；

??0时?从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2、常见的问题类型

（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况

（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况

①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论.

（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，

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解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 知识点二：根与系数的关系 1、如果x1,x2是一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的两根，根据韦达定理， 2、提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。

113、利用韦达定理求一些重要代数式(x?x2、?、?x1?x2?)的值：

x1x2212解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。

第二部分 考点精讲精练 考点1、根的判别式应用

例1、已知关于x的一元二次方程3x2+4x-5=0，下列说法正确的是（ ） A．方程有两个相等的实数根 C．没有实数根

B．方程有两个不相等的实数根

D．无法确定

例2、如果关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有实数根，则m的取值范围是（ ） A．m≥-1 B．m≤-1 C．m＞1 D．m＜1 例3、方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，

，那么该方程（ ）

A．一定没有实数根 B．一定有两个不相等的实数根 C．一定又两个相等的实数根 D．只有一个实数根

例4、若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是 ． 例5、已知关于x的方程2?a=1+x有一个根，那么a的值为 ． x例6、a取什么值时，方程a（a-2）x=4（a-2） ①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？ 举一反三： 1、如果关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）

A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1 2、下列方程中没有实数根的是（ ）

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A．x2+x-1=0 B．x2+8x+1=0 C．x2+x+2=0 D．x2-6x+2=0 3、关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，则a满足_______．

4、若关于x的方程x2-k|x|+4=0有四个不同的解，则k的取值范围是 ． 5、已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值． 6、已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程的实数根．

（1）求a的最小值； （2）当a达到最小时，解这个方程． 考点2、根与系数的关系

例1、若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程可能是（ ） A、x2+3x-2=0 B、x2+3x+2=0 C、x2-3x+2=0 D、x2-2x+3=0

例2、已知α，β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ）A．-1 B．9 C．23 D．27 例3、若方程x2+px+q=0的两个根是-2和3，则p+q=（ ） A.-6 B.-7 C.-8 D.-9

例4、若关于未知数x的方程x2+（m+2）x+m+5=0的两根都是正数，则m的取值范围是 ．

例5、已知关于x的方程x2-（m+5）x+3（m+2）=0． （1）求证：无论m取何实数值，方程总有两个实数根；

（2）如果Rt△ABC的斜边长为5，两条直角边长恰好是这个方程的两个根．求△ABC的面积． 举一反三： 1、已知关于x的一元二次方程x2-kx-4=0的一个根为2，则另一根是（ ） A．4 B．1 C．2 D．-2 2、设a，b是方程x2+x-2019=0的两个根，则a2+2a+b的值为（ ） A. 2009 B. 2010 C. 2019 D. 2019 3、若方程x2+（m2-1）x+m=0的两根互为相反数，则m= ． 4、设α，β是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根，则α2+4α+β= ．

有两个相等

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