内容发布更新时间 : 2024/6/27 0:23:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

25.3 用频率估计概率（1）

一、内容和内容解析

1．内容

用频率估计概率． 2．内容解析

用频率估计概率是继用列举法求概率后又一种求随机事件概率的方法．在本章的前两节中给出了概率的意义和概率的古典定义，并利用列举法求一些简单随机事件的概率．本节将从统计试验结果的角度研究概率，即通过频率研究概率．用频率估计概率不受试验结果个数有限和等可能条件的限制，因此适用的范围比用列举法更广．

频率是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值，是随机的，在试验前不能够确定．而一个随机事件发生的概率是确定的数，是客观存在的，与试验无关．频率与概率是有区别的．但在做大量重复试验时，随机事件发生的频率会呈现出规律性：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总是在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．

用频率估计概率让学生再次经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，进一步发展学生的统计意识和随机观念，探索和发现数据中隐藏的规律．

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：用频率估计概率． 二、目标和目标解析 1．目标

（1）知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率；

（2）经历抛掷硬币试验和投图钉试验，对数据进行收集、整理、描述与分析，体验频率的随机性与规律性，了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念．

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：学生明确地知道以下事实，即除了用列举法求概率外，还有另一种获得随机事件概率的方法——用频率估计概率，这种方法求出的概率与用列举法求出的概率不矛盾，是可信的，而且这种方法相对列举法适用范围更广泛．

达成目标（2）的标志是：学生在本节课中可以运用之前学习的统计知识解决问题，用划记法记录事件发生的频数，求频率，用折线图描述频率的变化趋势；在分析数据的基础上感受到，尽管频率具有随机性，但在大量重复试验时频率显示出稳定性；能够结合生活实例感受频率与概率的区别与联系，从自身的试验经历和生活经验中达成对用频率估计概率方法合理性和必要性的认可．

三、教学问题诊断分析

在学生以往的数学学习经验中，数学的结论往往给人严谨、确定、明确等印象．在这种思维定势的影响下，研究随机事件发生的可能性大小（概率），学生感到有些不适应．在学

1

习了古典概率之后，学生能够经过计算得出一些随机事件发生可能性大小的精确值，感觉比较容易接受．但是如何去研究不能用列举法计算的随机事件的概率，学生没有以往学习经历，需要教师引导．用频率估计概率的基础，是频率的稳定性规律，这种稳定性中本身也蕴含着一定的随机性，不是绝对的、确定性的．在初学时，学生常常把概率和频率相混淆，往往纠缠于“用哪个数字估计概率才正确”、“用频率的平均数估计概率是否更准确”等问题．教师要引导学生体会到用频率估计概率本质是一种估计，其目的是为了解释现象、解释生活，不是为了得到一个准确的数值．

在本节课中，学生将经历抛掷硬币试验和投图钉试验．对于抛掷一枚硬币“正面向上”的概率，学生心中已有明确的答案，这里要在各小组重复试验和全班整理数据的基础上感受频率与概率的关系，体会用频率去估计概率与实际并不矛盾，是可靠的．投一枚图钉，事先无法确定“钉尖朝上”与“钉尖朝下”的可能性是否相等，无法用列举法求得“钉尖朝上”的概率，要应用所学的新方法——用频率估计概率解决问题，这里用于体会用频率估计概率的方法比列举法求概率适用范围更广．

本节课的教学难点是：认可用频率估计概率方法的合理性和必要性． 四、教学过程设计

1．归纳用频率估计概率的方法

问题1 抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面向上”的概率为0.5，是否意味着抛掷一枚硬币50次时，就会有25次“正面向上”呢？不妨用试验进行检验．

师生活动：教师布置任务“考察频率与概率是否相同？”，提出活动内容“全班同学三人一组，每组同学抛掷一枚硬币50次，统计‘正面向上’出现的频数，计算频率，填写表1，并在图1中标出对应的点（可用excel表）”，指出活动要求：“第1名同学负责抛掷硬币，约达一臂高度，接住落下的硬币，报告试验结果；第2名同学用划记法记录试验结果；第3名同学监督，尽可能保证每次试验条件相同，确保试验的随机性，填写表1，完成图1”．学生分组按要求试验、思考．

组别 “正面向上”的频数m “正面向上”的频率1组 2组 3组 4组 5组 6组 7组 8组 9组 10组 表1

m n

设计意图：让学生亲身经历抛掷硬币的随机试验，收集和描述数据，培养随机观念，为揭示频率的随机性和稳定性做准备．

追问1：图1中横轴、纵轴分别表示什么？（组别、“正面向上”的频率） 过纵轴上刻度为0.5的点有一条水平直线，它的含义是什么？（“正面向上”的概率为

图1

2

0.5）

各小组标出的点含义是什么？（各个小组试验50次获得的“正面向上”的频率） 师生活动：学生回答问题．

追问2：频率和概率有什么不同？

师生活动：学生对比、思考、讨论、发现：抛掷一枚硬币50次并不一定有25次正面向上，频率和概率是有区别的，概率是确定的常数，频率是不确定的、是随机的．

设计意图：通过阅读图表、思考交流，让学生感受到频率与概率的区别． 问题2 如果重复试验次数增多，结果会如何？

师生活动：师生讨论，由于试验条件基本相同，可以用逐步累加各组数据的方法近似地模拟重复试验次数不断增多的情况．教师组织学生整理试验数据，完成表2（第1组的数据填在第1列，第1，2组的数据之和填在第2列??10个组的数据之和填在第10列），并在图2中标出对应的点． 抛掷次数n “正面向上”的频数m “正面向上”的频率 50 100 150 表2

200

250 300 350 400 450 500 m n图2

设计意图：全班合作对分组试验获得的数据进行整理和分析，鼓励和引导学生探索数据中隐藏的规律，提高学生的统计意识．

追问1：随着重复试验次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？

师生活动：教师利用投硬币模拟软件演示一组投硬币1000次的模拟试验，学生将模拟试验的结果与全班真实试验的结果做比较，归纳发现：正面向上的频率在0.5左右摆动，随着抛掷次数的增加，在0.5左右摆动的幅度越来越小．

设计意图：引导学生发现，尽管频率具有随机性，但在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率表现出稳定性．

追问2：阅读另外六组投硬币1000次模拟试验得到的图表（见附录），你读出哪些信息？ 师生活动：学生阅读图表，进一步认可，在做大量重复试验时，随着试验的次数的增加，频率表现出稳定性．教师可以继续追问：“每组试验得到的折线完全相同吗？”“试验次数较少时、与试验次数很大时折线有哪些特点？”引导学生发现，由于随机事件的随机性，每组试验得到的频率折线都不尽相同，但都无一例外的显示出，在做大量重复试验时频率表现出稳定性；试验次数较少时，频率表现出随机性的可能性很大，随着重复试验次数的不断增加，频率表现出稳定性的可能性越来越大．

教师出示历史上一些抛掷硬币试验的结果，给出：对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总是在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．频率稳定性规律不但由人们大量的生活实践所验证，还由数学家雅各布·伯努利给出了严格的证明．

设计意图：引导学生进一步认识频率的随机性和稳定性，帮助学生理解频率的稳定性规

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