内容发布更新时间 : 2024/5/15 3:56:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

考研数学之微积分在经济学中的应用

来源：文都教育

这一部分内容，数一和数二都不考，只有数三考试，考试内容比较简单。这一部分和常微分方程联系紧密，只要常微分法方程学的好，这一部分都不会困难，主要是计算量比较大一些。一下是文都数学老师总结的这一部分的主要内容，希望对数三考生有所帮助。

一、 差分方程

1、定义 设函数yt?y(t). 称改变量yt?1?yt为函数yt的差分, 也称为函数yt的一阶差分, 记为?yt, 即?yt?yt?1?yt 或 ?y(t)?y(t?1)?y(t).

一阶差分的差分称为二阶差分?2yt, 即

?2yt??(?yt)??yt?1??yt?(yt?2?yt?1)?(yt?1?yt)?yt?2?2yt?1?yt. 类似可定义三阶差分, 四阶差分,……

?3yt??(?2yt),?4yt??(?3yt),??

2、差分方程的概念

一般形式：F(t,yt,?yt,?2yt,?,?nyt)?0或G(t,yt,yt?1,yt?2,?,yt?n)?0.差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶.

特别的，称yx?1?P(x)yx?f(x)为一阶差分方程，同样的，f(x)?0为非齐次的，反之为其次的；若为常数，我们称之为一阶常系数差分方程.

3、一阶常系数线性差分方程的解法

一阶常系数线性差分方程的一般形式为：yt?1?ayt?f(t)，

其中常数a?0，f(t)为t的已知函数，当f(t)不恒为零时，称为一阶非齐次差分方程；

当f(t)?0时，差分方程：yt?1?ayt?0称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐

次差分方程。

4、解法

（1）求齐次差分方程的通解

把方程yt?1?ayt?0写作yt?1?(?a)yt，假设在初始时刻，即t?0时，函数yt取任意常数C。分别以t?0,1,2,?代入上式，得

y1?(?a)y0?C(?a),y2?(?a)y0?C(?a)2，ytt?(?a)y0?C(?a)t，t?0,1,2,。

通解为：yt?C(?a)t

特别地，当a??1时，齐次差分方程（3）的通解为：yt?C，t?0,1,2,?。 （2）求非齐次线性差分方程的通解 情形一：f(t)?b为常数

此时，非齐次差分方程可写作：yt?1?(?a)yt?b。 分别以t?0,1,2,?代入上式，得

y1?(?a)y0?by2?(?a)y21?b?(?a)y0?b[1?(?a)]y3?(?a)y2?b?(?a)3y0?b[1?(?a)?(?a)2]。 ??yt?(?a)ty0?b[1?(?a)?(?a)2???(?a)t?1]若?a?1，得：

ytbt?(?a)(y0?1?a)?b1?a??C(?a)t?b1?a，t?0,1,2,?， 其中C?y0?b1?a为任意常数。

若?a?1，得：yt?y0?bt?C?bt，t?0,1,2,?，其中C?y0为任意常数。

b??C(?a)t?,a??1，综上讨论，差分方程yt?1?ayt?b的通解为：y?? 1?a?a??1。?C?bt,情形二：f(t)为一般情况

此时，非齐次差分方程可写作：yt?1?(?a)yt?f(t)。 分别以t?0,1,2,?代入上式，得：

y1?(?a)y0?f(0)，y2?(?a)y1?f(1)?(?a)2y0?(?a)f(0)?f(1)，y3?(?a)y2?f(2)?(?a)3y0?(?a)2f(0)?(?a0f(1)?f(2)，??yt?(?a)ty0?(?a)t?1f(0)?(?a)t?2f(1)???(?a)f(t?2)?f(t?1)?C(?a)??(?a)kf(t?k?1)。tk?0t?1

情形三：f(x)?Pn(x)bx

当b??a时，令特解为y*?Qn(x)bx；当b??a时，令特解为y*?xQn(x)bx 二、经济数学中的五大函数

1、总体成本函数C(Q)：假设供需平衡且没有产品积压的情形下，总体成本C和产品产量Q构成函数关系，记为：C?C(Q),C(Q)?C0?C1(Q),C0为固定成本，C1为可变成本.

2、总体收入函数R(Q)：当产品单价为P的时候，收入函数为R(Q)?Q?P(Q)

3、总体利润函数：L(Q)?R(Q)?C(Q)

4、需求函数Qd：在一定条件下，消费者愿意购买并有支付能力的商品量，Qd?Qd(P)，