内容发布更新时间 : 2024/5/23 17:11:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

十字相乘法进行因式分解

1．二次三项式

多项式ax2?bx?c，称为字母x的二次三项式，其中ax2称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，x2?2x?3和x2?5x?6都是关于x的二次三项式．

在多项式x2?6xy?8y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．

在多项式2a2b2?7ab?3中，把ab看作一个整体，即2(ab)2?7(ab)?3，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式(x?y)2?7(x?y)?12，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．

2．十字相乘法的依据和具体内容

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：

（1）对于二次项系数为1的二次三项式x2?px?q，如果能把常数项q分解成两个因数a，

b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式

x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式ax2?bx?c(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，使a1?a2?a，c1?c2?c，且a1c2?a2c1?b， 3．因式分解一般要遵循的步骤

多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试， 分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

【典型热点考题】

例1 把下列各式分解因式：

（1）x2?2x?15；（2）x2?5xy?6y2． 解：

例2 把下列各式分解因式： （1）2x2?5x?3；（2）3x2?8x?3． 解：

点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．

例3 把下列各式分解因式：

（1）x4?10x2?9； （2）7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y)；

（3）(a2?8a)2?22(a2?8a)?120．

十字相乘法专项练习题

(1) a2－7a+6； (2)8x2+6x－35；

(3)18x2－21x+5； (4) 20－9y－20y2；

(5)2x2+3x+1； (6)2y

(7)6x2－13x+6； (8)3a

(9)6x2－11x+3； (10)4m

(11)10x2－21x+2； (12)8m

(13)4n2+4n－15； (14)6a

(15)5x2－8x－13； (16)4x

(17)15x2+x－2； (18)6y(19) 2(a+b)2 +(a+b)(a－b)－6(a－b)2；2+y－6； 2－7a－6； 2+8m+3； 2－22m+15； 2+a－35； 2+15x+9； 2+19y+10； －1)2 +4(x－1)－20；

(20)7(x