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构造辅助函数巧解导数问题

作者：梁金山

来源：《教育周报·教研版》2016年第19期

根据已知的条件和结论构造辅助函数，并通过研究新构造函数的相关性质来解题是高中数学中一种常用的方法，近年来也一直是高考考查的一大热点。现从以下几个方面进行分析，希望对大家的研究和学习有所帮助。 一、依据条件的结构特点构造辅助函数

题1：【2015福建理10】若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ） A. B. C. D.

试题解析：观察已知条件和选项的结构特点，我们可以构造函数 ，则 ，故函数 在 上单调递增，且 ，故 ，所以 ， ，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；另外，我们还可以构造函数 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 ， ，选项A，B无法判断，故选C. 总结提升：联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题。 二、证明部分不等式时，可通过直接做差来构造辅助函数求解

题2：已知定义在正实数集上的函数f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2ln x+b，其中a>0.设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同.①用a表示b，并求b的最大值；（2）求证：f（x）≥g（x）（x>0）.试题解析：（1）即有b=52a2-3a2ln a且b的最大值为32 .（过程略）；②证明 设F（x）=f（x）-g（x）=12x2+2ax-3a2ln x-b（x>0），③则F′（x）=x+2a-3a2x=x-ax+3ax（x>0）.

故F（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数.于是F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x0）=f（x0）-g（x0）=0.故当x>0时，有f（x）-g（x）≥0，即当x>0时，f（x）≥g（x）.

总结提升：利用导数证明不等式的步骤：（1）构造新函数，并求其单调区间；如：本题构造函数F（x）=f（x）-g（x），进而转化为求F（x）的最值问题.（2）判断区间端点函数值与0的关系；（3）判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式。

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三、当问题无法直接求解时，可通过对所求证的结论做适当变形，建立题目条件与结论之间的联系

题3：已知f（x）=xln x.①求函数f（x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有ln x>1ex-2ex成立。试题解析：（1）f（x）min= （过程略）。②证明：问题等价于证明xlnx>xex-2e（x∈（0，+∞））.③由（1）可知f（x）=xln x（x∈（0，+∞））的最小值是-1e，当且仅当x=1e时取到，设m（x）=xex-2e（x∈（0，+∞）），则m′（x）=1-xex，易知m（x）max=m（1）=-1e，当且仅当x=1时取到。从而对一切x∈（0，+∞），都有ln x>1ex-2ex成立。

总结提升：本题第（2）问证明不等式时，看似与条件中f（x）=xln x关系不大，但直接求解时无法进行，此时我们必须思考条件与所求解问题有无联系，如何建立起条件与问题之间的联系，此时如果尝试将所证不等式两边同乘以正数x便可得到本题解法。 四、巧化“双变量”问题为单变量函数问题求解

题4：已知函数 .①求函数 的图象在点 处的切线方程；②设斜率为 的直线与函数 的图象交于两点 ，证明： 。试题解析：① ，∴ ， ，∴切线方程为 ；② 要证原不等式成立只需证 ，∵ 即证 ，令 ，只需证 ， ，∴ ，∴ 在 上单调递减， 成立；令 ，∴ 在 上单调递增， 成立；综上所述： 。

总结提升：在求解含有 双变量问题时，需要根据题目条件消掉一个变量，进而转化成一个单变量问题来求解。如“题4”中把 的证明，转化为直线的斜率，构造新函数，利用导数研究新函数的极值与最值是解答的关键，着重考查了转化与化归思想及推理与运算能力；“题5”中将原不等式分离可得 ，利用 构造函数 ，求出最小值，可得 的取值范围。需要注意的是必须关注 之间的大小关系，或等量关系，如题4中 ，题5中 。