内容发布更新时间 : 2024/12/22 22:59:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《几何学概论》试题（１）

1. 试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线x?y?1?0，x?y?1?0，且点（1，1）

的象为原点.(15?)

2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(10?)

3. 写出直线2x1+3x2-x3=0,x轴,y轴,无穷远直线的齐次线坐标.(10?) 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(15?)

5. 已知A(1,2,3),B(5,-1,2),C(11,0,7),D(6,1,5),验证它们共线,并求(AB,CD)的值.(8?)

6. 设P1(1,1,1),P2(1,-1,1),P4(1,0,1)为共线三点,且(P1P2,P3P4)=2,求P3的坐标.(12?) 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(10?)

8.一维射影对应使直线l上三点P(-1),Q(0),R(1)顺次对应直线l?上三点

P?(0),Q?(1),R?(3),求这个对应的代数表达式.(10?)

9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(10?)

《高等几何》试题（２）

1.求仿射变换x??7x?y?1,y??4x?2y?4的不变点和不变直线. (15?) 2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(15?)

3.求证a(1,2,-1) ,b(-1,1,2),c(3,0,-5)共线,并求l的值,使

ci?lai?mbi(i?1,2,3). (10?)

4.已知直线l1,l2,l4的方程分别为2x1?x2?x3?0，x1?x2?x3?0，

2，求l2的方程.(15?) 35.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (10?)

x1?0，且(l1l2,l3l4)??6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底

的交点自对应. (10?)

7.求两对对应元素,其参数为1?程. (10?)

1,0?2,所确定对合的参数方 28.两个重叠一维基本形A??B,A???B成为对合的充要条件是对应点的参数?与??满足以下方程: a????b(????)?d?0(ad?b?0) (15?) 《高等几何》试题（３）

1. 求仿射变换x??7x?y?1,y??4x?2y?4的不变点和不变直线. (15?) 2. 求椭圆的面积.(10?)

3. 写出直线2x1+3x2-x3=0,x轴,y轴,无穷远直线的齐次线坐

标.(10?)

4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(15?)

5. 已知直线l1,l2,l4的方程分别为2x1?x2?x3?0，x1?x2?x3?0，

2x1?0，且(l1l2,l3l4)??2，求l2的方程.(15?) 36. 在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合. (15?) 7. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系, 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (20?)

[2005—2006第二学期期末考试试题] 《高等几何》试题（A）

一、 填空题（每题3分共15分）

1、 是仿射不变量， 是射影不变量

2、 直线3x?y?0上的无穷远点坐标为 3、 过点（1,i,0）的实直线方程为 4、 二重元素参数为2与3的对合方程为

225、 二次曲线6x?y?11y?24?0过点P(1,2)的切线方程 二、 判断题（每题2分共10分）

1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ） 2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ） 3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边 （ ） 4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 （ ） 5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ）

三、(7分)求一仿射变换，它使直线x?2y?1?0上的每个点都不变，且使点（1,-1）

变为（-1，2）

四、（8分）求证:点 A(1,2,?1),B(?1,1,2),C(3,0,5)三点共线，并求t,s

使ci?tai?sbi,(i?1,2,3)

五、(10分)设一直线上的点的射影变换是x?/3x?2证明变换有两个自对应点，且这两自x?4对应点与任一对对应点的交比为常数。 六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。 七、（10分）

222（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线2x1?3x2?x3?6x1x2?2x1x3?4x2x3?0的极线

（2）已知二阶曲线外一点P求作其极线。（写出作法，并画图） 八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理 九、（10分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5,?1]交点且属于二级曲线

222 4u1?u2?2u3?0的直线

十、（10分）已知A,B,P,Q,R是共线不同点，

如果(PA,QB)??1,(QR,AB)??1,求(PR,AB) 《高等几何》试题（B）

一、 填空题（每题3分共15分）

?x/?7x?y?11、 仿射变换?/的不变点为

y?4x?2y?4?2、 两点决定一条直线的对偶命题为

3、 直线[i ,2,1-i] 上的实点为 4、 若交比(AB,CD)?2 则(AD,BC)?

5、 二次曲线中的配极原则 二、判断题（每题2分共10分）

1、不变直线上的点都是不变点 （ ） 2、在一复直线上有唯一一个实点 （ ） 3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应 （ ） 4、射影群?仿射群?正交群 （ ） 5、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数 （ ） 三、(7分)

经过A(?3,2)和B(6,1)的直线AB与直线x?3y?6?0相交于P，求 (ABP) 四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群 五、（10分）已知直线L1,L2,L3,L4的方程

分别为：2x?y?1?0,3x?y?2?0,7x?y?0,5x?1?0 求证四直线共点，并求(L1L2,L3L4)

六、(10分)

利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点 七、（10分）求（1）二阶曲线x1?2x2?3x3?x1x3?0过点P(2,2225,1)的切线方程 2222 （2）二级曲线u1?u2?17u3?0在直线L[1，4，1] 上的切点方程

八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）

22九、（10分）已知二阶曲线（C）：2x1?4x1x2?6x1x3?x3?0

（1） 求点P(1,2,1)关于曲线的极线

（2） 求直线3x1?x2?6x3?0关于曲线的极点

十、（10分）

试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束

《高等几何》试题（C）

一、填空题（每题3分共15分）

?x/?2x?y?16、 直线x?y?2?0在仿射变换?/下的像直线

y?x?y?3?7、 X轴Y轴上的无穷远点坐标分别为

8、 过点（1,-i ,2）的实直线方程为

9、 射影变换???2??3?0自对应元素的参数为 10、

222二级曲线u1?u2?17u3?0在直线上[1,4,1]的切点方程

'三、 判断题（每题2分共10分）

1、仿射变换保持平行性不变 （ ） 2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ） 3、线段中点与无穷远点调和分离两端点 （ ）

4、 如果P点的极线过Q点，则Q点的极线也过P点 （ ） 5、不共线五点可以确定一条二阶曲线 （ ）三、(7分)已知OX轴上的射影变换x?'2x?1，求坐标原点，无穷远点的对应点 x?3四、（8分）已知直线a,c,d的方程分别为2x1?x2?x3?0,x1?x2?x3?0，x1?0 且

2(ab,cd)??求直线b的方程。

3五、（10 分）已知同一直线上的三点A,B,C求一射影变换使此三点顺次变为B,C,A并判断变换的类型， 六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。

??x1'?x1?x2?'七、（10分）求射影变换??x2?x2的不变点坐标

??x'?x33?八、（10分）叙述并证明帕斯卡定理

九、（10分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5,?1]交点且属于二级曲线

222 4u1?u2?2u3?0的直线

十、（10分）试证:双曲型对合的任何一对对应元素 P?P,与其两个二重元素E,F调和共轭即(PP,EF)=-1 [参考答案]

''高等几何标准答案（A）

一、 填空题：（每空3分共15分）

1、单比，交比 2、（1,-3,0） 3、x3?0 4、2???5(???)?12?0 5、12x1?7x2?26x3?0

二、判断题（每题2分共10分）

1、错，2、错，3、对，4、错，5、对

三、解：在直线x?2y?1?0上任取两点A(1,0),B(?1,1) 2分 由A(1,0)?A(1,0),B(?1,1)?B(?1,1),(1,?1)?(?1,2)

''?x'?a11x?a12y?a13设仿射变换为?' 将点的坐标代入可解得

?y?a21x?a22y?a23?x'?2x?2y?1? ?'33 7分 ?y??x?2y??22