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2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学(理科)

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：

1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.

2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式：

球的表面积公式柱体的体积公式

S?4πR2 V?Sh

球的体积公式

其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的

高 V?3πR34

台体的体积公式

其中R表示球的半径 V?13h(S1?S1S2?S2)

锥体的体积公式

其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积,

V?13Sh

h表示台体的高

其中S表示锥体的底面积,

如果事件A,B互斥,那么

h表示锥体的高

P(A?B)?P(A)?P(B)

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1.设全集U?{x?Ν|x≥2},集合A?{x?N|x2≥5},则eUA=

( )

数学试卷第1页（共18页） A.?

B.{2}

C.{5}

D.{2,5}

2.已知i是虚数单位a,b?R,则“a?b?1”是“(a?bi)2?2i”的

( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示,则此几何体的表面积是 ( )

A.90cm2 B.129cm2 C.132cm2

D.138cm2

4.为了得到函数y?sin3x?cos3x的图象,可以将函数y?2cos3x的图象

( )

A.向右平移π4个单位 B.向左平移

π4个单位 C.向右平移π12个单位

D.向左平移π12个单位

5.在(1?x)6(1?y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)?f(2,1)?f(1,2)?f(0,3)?

( )

A.45

B.60

C.120 D.210

6.已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c,且0＜f(?1)?f(?2)?f(?3)≤3,则

( )

A.c≤3 B.3＜c≤6 C.6＜c≤9

D.c＞9

数学试卷第2页（共18页） 7.在同一直角坐标系中,函数f(x)?xa(x?0),g(x)?logax的图象可能是

( )

C. D.

8.记max{x,y}???x,x≥y,

( )

?y,x＜y,min{x,y}???y,x≥y,?x,x＜y,设a,b为平面向量,则

A.min{|a?b|,|a?b|}≤min{|a|，|b|} B.min{|a?b|,|a?b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a?b|2,|a?b|2}≤|a|2?|b|2

D.max{|a?b|2,|a?b|2}≥|a|2?|b|2

9.已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i?1,2)个球放入甲盒中.

（a）放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为?i(i?1,2)；（b）放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i?1,2). 则

( )

A.p1?p2,E(?1)?E(?2) B.p1?p2,E(?1)?E(?2) C.p1?p2,E(?1)?E(?

2)D.p1?p2,E(?1)?E(?2)

A.I1?I2?I3 B.I2?I1?I3 C.I

1?I3?I2D.I3?I2?I1

数学试卷第3页（共18页）

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.

11.若某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运行后输出的结果是 .

12.随机变量?的取值为0,1,2.若P(??0)?15,E(?)?1,则D(?)? .

?x?2y?4≤0,13.若实数x,y满足??x?y?1≤0,时,1≤ax?y≤4恒成立,则实数

??x≥1,a的取值范围是 .

14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种（用数字作答）.

15.设函数f(x)????x2?x, x＜0, ??x2, x≥0, 若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是 .

?.设直线x?3y?m?0(m?0)与双曲线x2y216a2?b2?1(a?0,b?0)的两条渐近线分别交于点

A,B.若点P(m,0)满足|PA|?|PB|,则该双曲线的离心率是 .

17.如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角?的大小.若AB?15m,AC?25m,?BCM?30o,则tan?的最大值是（仰角?为直线AP与平面ABC所成角）.

数学试卷第4页（共18页）三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a?b,c?3,cos2A?cos2B?3sinAcosA?3sinBcosB. （Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA?45,求△ABC的面积.

19.（本小题满分14分）

已知数列{a?(2)bn(n?Ν*n}和{bn}满足a1a2a3???an).若{an}为等比数列,且a1?2,

b3?6?b2.

（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）设c*n?1a?1(n?Ν).记数列{cn}的前n项和Sn. nbn（ⅰ）求Sn；

（ⅱ）求正整数k,使得对任意(n?Ν*)均有Sk≥Sn.

数学试卷第5页（共18页） 20.（本小题满分15分）

如图,在四棱锥A?BCDE中,平面ABC?平面BCDE,?CDE??BED?90o,

AB?CD?2,DE?BE?1,AC?2. （Ⅰ）证明：DE?平面ACD；（Ⅱ）求二面角B?AD?E的大小.

21.（本小题满分15分）

如图,设椭圆C：x2y2a2?b2?1(a?b?0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.

（Ⅰ）已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标；

（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直,证明：点P到直线l1的距离的最大值为a?b.

22.（本小题满分14分）

已知函数f(x)?x3?3|x?a|(a?R).

（Ⅰ）若f(x)在[?1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求M(a)?m(a)；（Ⅱ）设b?R.若[f(x)?b]2≤4对x?[?1,1]恒成立,求3a?b的取值范围.

数学试卷第6页（共18页）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）答案解析

选择题部分

一、选择题 1.【答案】B

【解析】∵A?[??,5）U[5,??)，∴eUA?{2}.选B. 【提示】先化简集合A，结合全集，求得eUA. 【考点】集合的基本运算 2.【答案】A

【解析】若a?b?1，则(a?bi)2?2i，所以前者是后者的充分条件.若(a?bi)2?2i，则

a?b?1或a?b??1，所以后者是前者的不必要条件.选A.

【提示】给出两等式，判断两者之间的关系. 【考点】充分、必要条件 3.【答案】D

【解析】可知该几何体由一个三棱柱和一个长方体组合而成，长方体的表面积S1?3?4?2?3?6?2?4?6?2?108，

三棱柱的表面积S?4?3?2?122?4?3?3?3?3?5?48

所以该几何体的表面积为108?48?3?3?2?138cm2.选D.

【提示】给出三视图，判断空间几何体的直观图，判断其构成，再根据公式求解. 【考点】简单几何体的表面积 4.【答案】C

【解析】y?sin3x?cos3x可化为y?2sin???3x???4???2sin3???x???12??，

所以将y?2sin3x向右平移?12个单位即可得到y?sin3x?cos3x的图象.

【提示】给出三角函数的解析式，利用两角和差的公式将其化成正弦型三角函数，再根据

已给出的正弦型三角函数的解析式，观察两者之间的关系. 【考点】两角和与差的公式，三角函数的图象的平移数学试卷第7页（共18页） 5.【答案】C

【解析】(1?x)6的通项公式Tr6?r，同理(1?y)4的通项公式Tt4?tr?1?C6xt?1?C4y，令

6?r?m，4?t?n，求出x3，y3，x2y，xy2的系数即

f(3,0)?f(2,1)?f(1,2)?f(0,3)?20?4?60?36?120.故选C.

【提示】给出两式相乘的形式，利用二项式通项公式代入求值. 【考点】二项式定理的应用 6.【答案】C

【解析】f(?1)??1?2a?b?c，f(?2)??8?4a?2b?c，f(?3)??27?9a?3b?c，

由f(?1)?f(?2)?（?3）得，a?6，b?11，∴f(x)?x3?6x2?11x?c∵0?f(?1)?3，把

f(?1)代入f(x)得c的取值范围是6?c?9.故选C.

【提示】给出函数和条件，根据条件代入求值得出a，b，代入函数，得出关于c的不等式，

求出c的取值范围. 【考点】函数和不等式结合 7.【答案】D

【解析】只有选项D符合，此时0?a?1，幂函数f(x)在(0,??)上为增函数，且当x?(0,1)时，f(x)的图像在直线y?x的上方，对数函数g(x)在(0,??)上为减函数.选

【提示】给出幂函数和指数函数的函数表达式，画出同一直角坐标系中的图像. 【考点】幂函数与对数函数的图像 8.【答案】D

【解析】对于A，当ar?0，br?0时，不等式不成立；

对于B，当ra?rb?0时，不等式不成立；

对于C、D，设a?b，构造平行四边形OACB，

根据平行四边形法则，?AOB与?OBC至少有一个大于或等于90?，

根据余弦定理，max{|ra?rb|,|ra?rb|}?|ra|2?|rb|2成立.选D. 【提示】给出新定义，根据条件判断正误. 【考点】向量运算数学试卷第8页（共18页） 9.【答案】A 【解析】方法一：

不妨取m?n?3此时，p32313C23C123312C3121?6?2?6?2?4,p2?C2??C2C3??2??3

6363C63则p?p333C2123C31C312；E(?1)?1?6?2?6?2，E(?2)?1?C2?2?2C3?3?2?2，

6C6C6则E(?1)?E(?2).故选A.

方法二：p1?mm?n?2n12m?n2?m?n?2?2(m?n), p?C23C1C122mmn2Cn13m?3m?4mn?n2?n2C2??2??2??，

m?n3Cm?n3Cm?n33(m?n)(m?n?1)则pm?n?1)1?p2?n(6(m?n)(m?n?1)?n6(m?n)?0

E(?nm2m?n1)=1?m?n?2?m?n?m?n,

E(?C2C11nC2m3m2?3m?4mn?n2nmC?n2)?C2?1?2?2?2?3=

m?nCm?nCm?n3(m?n)(m?n?1)E(?)?E(??m2?m?mn12)?(m?n)(m?n?1)?0.选A.

【提示】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当??1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；??2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出p1，P2和E(?1)，E(?2)进行比较即可. 【考点】概率的计算

10.【答案】B

22【解析】对于

I1，由于

??i??i2i?1?99?????1??99???992(i?1,2???99)，故

I19921?992(1?3?5?????2?99?1)?992?1;对于I2，由于2|ii?199?99?(i99)?(i?1299)|? 2992|100?2i|(i?1,2,???99),故I250(98?0)100?98992?12?992?2?2?992?992?1. I13??199)?sin(2??099)?sin(2??299)?sin(2??199983?sin(299)?????sin(2??99)?sin(2??99) 数学试卷第9页（共18页）

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