内容发布更新时间 : 2024/12/23 9:31:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
限时规范训练二十一 坐标系与参数方程
限时30分钟,实际用时
分值40分,实际得分
解答题(本题共4小题,每小题10分,共40分)
1.(2017·河南六市联考)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为?
2
2
?x=7cos α,
?y=2+7sin α
(其中α为参数),曲线C2:(x-1)+y=1,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程.
π
(2)若射线θ=(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,求|AB|.
6
?x=7cos α,
解:(1)因为曲线C1的参数方程为?
?y=2+7sin α所以曲线C1的普通方程为x+(y-2)=7. 因为曲线C2:(x-1)+y=1,
2
2
2
2
2
(其中α为参数),
所以把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(x-1)+y=1, 得到曲线C2的极坐标方程(ρcos θ-1)+(ρsin θ)=1, 化简得ρ=2cos θ.
π??π??(2)依题意设A?ρ1,?,B?ρ2,?, 6??6??
因为曲线C1的极坐标方程为ρ-4ρsin θ-3=0, π
将θ=(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程,
6得ρ-2ρ-3=0,解得ρ1=3,
π
同理,将θ=(ρ>0)代入曲线C2的极坐标方程.
6得ρ2=3,所以|AB|=|ρ1-ρ2|=3-3.
??x=tcos α,
2.(2017·武昌区调研)在直角坐标系xOy中,曲线C1:?
?y=tsin α?
2
2
2
22
(t为参数,t≠0),
其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=23cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
解:(1)曲线C2的直角坐标方程为x+y-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x+y-23x=0.
2
2
2
2
?x+y-2y=0,联立?22
?x+y-23x=0,
22
??x=0,解得?
?y=0,?
3
?x=?2,或?
3y=??2.
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和?
?33?,?. ?22?
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π. 因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(23cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-23cos α| π????=4?sin ?α-??. 3????
5π
当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.
6
3.(2017·广东普宁模拟)在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsinθ=4cos θ,点
2
M?1,?,以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.斜率为-1的直线l过点M,
2
??
π??
且与曲线C交于A,B两点.
(1)求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程. (2)求点M到A,B两点的距离之积. 解:(1)令x=ρcos θ,y=ρsin θ,
由ρsinθ=4cos θ,得ρsinθ=4ρcos θ, 所以y=4x,所以曲线C的直角坐标方程为y=4x, 3π
因为点M的直角坐标为(0,1),直线l的倾斜角为,
43π
x=tcos ,??4
故直线l的参数方程为?3π
y=1+tsin ,??42
?x=-t,?2即?
2
y=1+t,??2
2
2
2
2
2
(t为参数),
(t为参数).
2
?x=-t,?2
(2)把直线l的参数方程?
2
y=1+t,??2
(t为参数)代入曲线C的方程得?1+
?
?2?t?=2?
2
4×?-??2?t?, 2?
2
即t+62t+2=0,
Δ=(62)2-4×2=64,
设A,B对应的参数分别为t1,t2,则?
?t1+t2=-62,?t1t2=2,
又直线l经过点M,故由t的几何意义得点M到A,B两点的距离之积|MA|·|MB|=|t1||t2|=|t1·t2|=2.
??x=4+5cos t,
4.(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知曲线C1的参数方程为?
?y=5+5sin t?
(t为参数)以坐
标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)求C1的极坐标方程,C2的直角坐标方程.
(2)求C1与C2交点的极坐标(其中ρ≥0,0≤θ<2π). 解:(1)将?
?x=4+5cos t?
??y=5+5sin t2
,消去参数t,
2
化为普通方程(x-4)+(y-5)=25, 即C1:x+y-8x-10y+16=0.
??x=ρcos θ,
将?
?y=ρsin θ,?
2
2
代入x+y-8x-10y+16=0,得ρ-8ρcos θ-10ρsin θ+16
222
=0.
所以C1的极坐标方程为ρ-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
因为曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ,变为ρ=2ρsin θ,化为直角坐标方程为x+
2
2
2
y2=2y,即x2+y2-2y=0.
(2)因为C1的普通方程为x+y-8x-10y+16=0,C2的普通方程为x+y-2y=0,
??x+y-8x-10y+16=0,由?22
?x+y-2y=0,?
2
2
2
2
2
2
??x=1,
解得?
?y=1?
??x=0,
或?
?y=2.?
π??π??所以C1与C2交点的极坐标分别为?2,?,?2,?.
4??2??