内容发布更新时间 : 2024/4/19 17:06:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

数轴上的运动问题在讲这个问题之前，我们先来看一道行程问题。 【题 1】甲乙两地相距 200 米，小明从甲地步行到乙地，用时 3 分钟，小明的平均速度为多少米每秒？ 【分析】这个问题的本质，就是把实际生活中的问题剥离出来，抽象成了简单的数学问题，很多学生都会解；初学时，老师会画线段图，用线段的长度来将两点间的距离具象化，如下：

小明 甲地

乙地

【解法一】直接利用：速度=路程÷时间解决。 200 ?180 ?

10 9 （米/秒）

【解法二】用方程解。设速度为 x米/ 秒，根据路程=时间×速度，得： 200 ? 180x ，解得 x ?

10

。

9

如果在线段图上，用一个具体的数来表示甲地和乙地，从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴，这个问题就转化为数轴上的运动问题了。 【题 2】如图，数轴上有两点 A、B，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为 200 ，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止。设运动时间为 t。 （1）用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 运动的距离； （2）用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 表示的数；

（3）用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 到数 B 的距离。

（4）当电子蚂蚁运动多少时间后，点 P 为线段 AB 的三等分点？

【分析】引入数轴后，其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线，将有限的实际距离推广到了无

限的距离问题。所以，对于运动的点，处理的核心思想依然是路程=速度×时间。其余的点的距离，利用数 轴上两点间距离公式解决。 （1）根据路程=速度×时间，有： AP ? t ； （2） AP ? t ，故点 P 表示的数为t ；

（3）点 B 表示的数为 200，点 P 表示的数为t ，且 P 在 B 左边，故 PB ? 200 ? t 。 （4）若 P 为 AB 的三等分点，有两种情况：

①AP=2PB，即： t ? 2 ? ?200 ? t ?，解得t ? ②2AP=PB，即： 2t ? 200 ? t ，解得t ?

200

秒； 3 400

秒； 3 现在，我们将【题 2】一般化，线段 AB 一般化为在数轴上的一条定长线段，便得到如下的题：

【题 3】如图，数轴上有两点 A、B，点 A 表示的数为 a ，点 B 表示的数为b ，且数 A 和数 B 的距离为 200 个单位长度，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止。设运动时间为 t。

（1）用含 a 的代数式表示数 B；

（2）用含 a 和 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 表示的数；

（3）用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 到数 B 的距离。

【分析】一般化后，增加了字母参数，更加抽象化，难度也上升了，但若严格按照逻辑推理进行解题，难

度也会有所下降。 （1）由数轴上两点间距离公式可得： b ? a ? 200，整理得： b ? 200 ? a ；

（2）由路程=速度×时间得， AP ? t ，即 A、P 两点间的距离为t ；同（1）可得，点 P 表示的数为 a ? t 。 （3）由于数 B≥数 P，故根据数轴上两点间距离公式有： BP ? b ? ?a ? t ? ? a ? 200 ? ?a ? t ? ? 200 ? t 。

我们发现，只要线段 AB 的长度固定，点 P 到 B 的距离跟 A、B 表示的数无关。

接下来，我们将问题复杂化，变为双动点问题，请看【题 4】。

【题 4】如图，数轴上有两点 A、B，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为 200 ，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止；另一电子蚂蚁 Q 在同一时间从 B 出发，以 2 个单位每秒的速度由 B 往 A 运动，到 A 点运动停止。设运动时间为 t。 （1）当电子蚂蚁 P、Q 相距 40 个单位长度时，求运动时间 t； （2）用含 t 的代数式表示两只电子蚂蚁的距离。

【分析】本题的实质，就是行程问题中的相向运动问题，若用数轴不好理解，可以借助熟悉的行程问题来

辅助理解。 （1）在运动的过程中，点 P 和点 Q 的位置有三种情况：P 在 Q 的右边，P 和 Q 重合，P 在 Q 的左边，故运用两点间距离公式时，需要加个绝对值号，可以有效避免漏掉情况。另外，Q 到 A 后，Q 停止，但 P 继续往 B 运动，故也得考虑这种情况。

①P、Q 都在运动时， 0秒? t ? 100秒时，点 P 表示的数为t ，点 Q 表示的数为 200 ? 2t ，故 P、Q 两

点间的距离为 200 ? 2t ? t 。根据题意有： 200 ? 2t ? t ? 40 。很自然地需要分类讨论，考虑了两种情况。

②Q 停止运动，P 继续运动，此时 PQ 距离＞100，故不符合题意。

（2）①P 与 Q 相遇之前，即 P 在 Q 的左边，此时有数 Q＞数 P， 0秒? t＜ 200

秒，此时： 3 200

秒? t ? 100秒，此时： 3 PQ ? 200 ? 2t ? t ? 200 ? 3t

②P 与 Q 相遇后，Q 停止运动前，即 Q 在 P 的左边，此时有数 P＞数 Q，

PQ ? t ? ?200 ? 2t ? ? 3t ? 200

③Q 停止运动，P 继续向 B 运动直至停止，数 Q 为 0，数 P＞数 Q，100秒＜t ? 200秒，此时：

PQ ? t ? 0 ? t

【提炼】第（1）问题，利用数轴上两点间的距离公式，能有效解决漏掉情况的问题。

下面，我们把线段等分点加进来，提升难度，请看【题 5】和【题 6】。其处理的核心，依然是表示出相关的数。 【题 5】如图，数轴上有两点 A、B，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为 200 ，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止；另一电子蚂蚁 Q 在同一时间从 B 出发，以 2 个单位每秒的速度由 B 往 A 运动，到 A 点运动停止。设运动时间为 t。 （1）当 P 为 AQ 中点时，求运动时间 t； （2）当 Q 为 BP 中点时，求运动时间 t。

【分析】搭上了线段中点，处理方式依然不变，用含t 的代数式表示出数 Q、数 P，利用两点间距离公式解 题。 （1）点 P 表示的数为t ，点 Q 表示的数为200 ? 2t ，若 P 为 AQ 中点，有 AP=PQ，即： t ? 200 ? 2t ? t ， 解得： t ? 50秒；

（2）点 P 表示的数为t ，点 Q 表示的数为 200 ? 2t ，若 Q 为 BP 中点，有 PQ=BQ，即： 200 ? 2t ? t ? 2t ， 解得： t ? 40秒。

【题 6】已知数轴上 A、B 两点对应的数分别是-2 和 4，P 为原点。若 A、B、P 三点分别以 1 个单位每秒、 4 个单位每秒、2 个单位每秒的速度向右运动，当 A、B、P 三点有其中一点为其余两点的中点时，求运动的时间。

【分析】按理说有三种情况，A 为 P、B 中点，B 为 A、P 中点，P 为 A、B 中点，但结合条件，发现 A 不

可能为 P、B 中点，故此种情况可以舍去。

设运动时间为 t，则运动过程中，点 A 表示的数为 t-2，点 P 表示的数为 4t，点 B 表示的数为 4+2t。 ①B 为 A、P 中点，有 AB=BP，即：4+2t-t+2=4t-4-2t，解得：t=10 秒； ②P 为 A、B 中点，有 AP=PB，即：4t-t+2=4+2t-4t，解得：t=0.4 秒；

【思考】线段（直线、射线）上的运动问题，可以转化为数轴上的运动问题来处理吗？ 最后，放几个题结束本文。 【题 1】如图，数轴上 A、B 两点对应的有理数分别为-8 和 12，点 P 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度 的速度沿数轴负方向运动，同时点 Q 从原点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为t 秒。

（1）求经过两秒后，数轴点 P、Q 分别表示的数； （2）当t ? 3 时，求 PQ 的值；

（3）在运动过程中，是否存在时间 t，使得 AP=BQ，若存在，求出 t 值；若不存在，说明理由。

【题 2】如图，点 A、B 和线段 CD 都在数轴上，点 A、C、D、B 起始位置所表示的数分别为-2,0,3,12；线

段 CD 沿数轴的正方向以每秒 1 个单位的速度移动，移动时间为t 秒。 （1）当t ? 0 秒时，AC 的长度为 ；当t ? 2秒时，AC 的长度为 ； （2）用含有t 的代数式表示 AC 的长为 ． （3）当t ? 秒时，AC－BD=5，当t ? 秒时 AC+BD=15． （4）若点A 与线段 CD 同时出发沿数轴的正方向移动，点 A 的速度为每秒 2 个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得 AC=2BD，若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由．

【题 3】如图，E 为线段 AC 上靠近点 A 的三等分点，B、D 为线段 EC 上的两点，且满足 CD=2BD。 （1） 若 DE=6cm，求线段 AB 的长；

（3）若 AC=15cm，EB=4cm，动点 P 从 A 点、动点 Q 从 D 点同时出发，分别以 3cm/s、1cm/s 的速度沿直线 AC 向右运动，是否存在某个时刻，使得 BP+CQ=AB 成立？若存在，求此时 PQ 的长度；若不存在，说明理由。

【题 4】如图，数轴上线段 AB=2，CD=4，点 A 在数轴上表示的数是 10，点 C 在数轴上表示的数是 16。若线段 AB 以 6 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 CD 以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动。 （1）运动多少时，BC=8？ （2）P 是线段 AB 上一点，当 B 点运动到线段 CD 上时，是否存在关系式 ? 3，若存在，求线段

BD ? AP PC PD 的长；若不存在，请说明理由。