内容发布更新时间 : 2024/5/18 8:15:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

?????1?解析：原方程可化为：(2x ? 3x) + (?5a+a) + (4b?3b) = 0，

2?9??∴x =?a+ b。

2点评：平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质。

题型3：平面向量的坐标及运算

????例5．已知?ABC中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求AD。 ????????????解析：设D(x,y)，则AD??x?2,y?1?,BD??x?3,y?2?,BC???b,?3?

????????????????∵AD?BC,BD?BC

??6?x?2??3?y?1??0?x?1得? ????3?x?3??6?y?2??0?y?1????所以AD???1,2?。

例6．已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标。

????????解析：设P(x,y)，则OP?(x,y),AP?(x?4,y)

因为P是AC与OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线OB上。

????????????????????????即得OP//OB,AP//AC，由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC?(?2,6),OB?(4,4)。

?6(x?4)?2y?0?x?3得方程组?，解之得?。

?y?3?4x?4y?0故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)。

题型4：平面向量的性质

???例7．平面内给定三个向量a??3,2?,b???1,2?,c??4,1?，回答下列问题： ???（1）求满足a?mb?nc的实数m,n；

????（2）若?a?kc?//2b?a，求实数k；

??????????（3）若d满足d?c//a?b，且d?c?5，求d。

????5?m????m?4n?39。 解析：（1）由题意得?3,2??m??1,2??n?4,1?，所以?，得?8?2m?n?2?n?9?????（2）a?kc??3?4k,2?k?,2b?a???5,2?，

?2??3?4k????5??2?k??0,?k??

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????（3）d?c??x?4,y?1?,a?b??2,4?

由题意得??4?x?4??2?y?1??0?x?3?x?5，得或?。 ?22??x?4???y?1??5?y??1?y?3??例8．已知a?(1,0),b?(2,1). ??（1）求|a?3b|；

3????7????此时ka?b?(k?2,?1)?(?,?1)，a?3b?(7,3)，则a?3b??3(ka?b)，即此

3????时向量a?3b与ka?b方向相反。

点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。 题型5：共线向量定理及平面向量基本定理

例9．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足OC??OA??OB，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（ ）

A．3x+2y－11=0 C．2x－y=0

B．（x－1）2+（y－2）2=5 D．x+2y－5=0

????（2）当k为何实数时，ka?b与a?3b平行， 平行时它们是同向还是反向？

??解析：（1）因为a?(1,0),b?(2,1).

??所以a?3b?(7,3)

??则|a?3b|?72?32?58 ????（2）ka?b?(k?2,?1)，a?3b?(7,3)

1????因为ka?b与a?3b平行，所以3(k?2)?7?0即得k??。

????????????解法一：设C?x,y?，则OC??x,y?,OA??3,1?,OB???1,3?。

????????????由OC??OA??OB得?x,y???3?,??????,3????3???,??3??，

?x?3????x?4??1?于是?y???3?，先消去?，由??1??得?。

?y?3?2??????1?再消去?得x?2y?5?0，所以选取D。 解法二：由平面向量共线定理，

????????????当OC??OA??OB，????1时，A、B、C共线。

因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得x?2y?5?0即选D。

点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向

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量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。

例10．（1）已知︱OA︱=1，︱OB︱=3,OA?OB=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOB(m、n∈R)，则

m等于（ ） nA．

13 B．3 C． D．3 33B （2）如图：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB

及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OP?xOA?yOB，则实数对（x,y）可以是（ ）

1322A．(,) B. (?,)

44331317C. (?,) D. (?,)

4455M O 图 A

解析：（1）B；（2）C。

题型6：平面向量综合问题

例11．已知向量u?(x,y)与v?(y,2y?x)的对应关系用v?f(u)表示。

??????????（1）证明：对于任意向量a,b及常数m，n恒有f(ma?nb)?mf(a)?nf(b)成立； ????（2）设a?(1,1),b?(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；

（3）求使f(c)?(p,q)，（p，q为常数）的向量c的坐标

??????解析：（1）设a?(a1,a2),b?(b1,b2)，则ma?nb?(ma1?nb1,ma2?nb2)，

故

??f(ma?nb)?(ma2?nb2,2ma2?2nb2?ma1?nb1) ?m(a2,2a2?a1)?n(b2,2b2?b1)，

????∴f(ma?nb)?mf(a)?nf(b)

??（2）由已知得f(a)=（1，1），f(b)=（0，－1）

（3）设c=（x，y），则f(c)?(y,2y?x)?(p,q)， ∴y=p，x=2p－q，即c=（2P－q，p）。

???????例12．求证：起点相同的三个非零向量a，b，3a－2b的终点在同一条直线上。 ????????????????证明：设起点为O，OA＝a，OB=b，OC＝3a－2b，

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????????????????????????????????????则AC?OC?OA=2(a－b)，AB?OB?OA=b－a，AC??2AB，

????????∵ AC,AB共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，

????即向量a，b，3a－2b的终点在同一直线上．

点评：（1）利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：① 证明向量平行；② 说明两个向量有公共点；

⑵用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：①证明向量平行；②说明两向量无公共点。

五．思维总结

数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。

学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

（1）向量的加法与减法是互逆运算；

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件； （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系；

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