内容发布更新时间 : 2025/4/3 6:20:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
课时1 导数与函数的单调性
题型一 不含参数的函数的单调性
lnx
例1 求函数f(x)=的单调区间.
x解 函数f(x)的定义域为(0,+∞). 1-lnxlnx
因为f(x)=,所以f′(x)=2.
xx
当f′(x)>0,即0
思维升华 确定函数单调区间的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求f′(x);
(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
1
函数y=x2-lnx的单调递减区间为( )
2
A.(-1,1] C.[1,+∞) 答案 B
2
121x-1
解析 y=x-lnx,y′=x-=
2xx
B.(0,1]
D.(0,+∞)
=
?x-1??x+1?
(x>0). x
令y′≤0,得0
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0). (1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求a的值; (2)求函数y=f(x)的单调区间. 解 (1)函数f(x)的定义域为R. ex
由已知得f′(x)=x-a.
e+1∵函数y=f(x)的导函数是奇函数,
∴f′(-x)=-f′(x),
ex1
即-x-a=-x+a,解得a=.
2e+1e+1
e
ex1
(2)由(1)知f′(x)=x-a=1-x-a.
e+1e+1①当a≥1时,f′(x)<0恒成立, ∴a∈[1,+∞)时,
由f′(x)>0得(1-a)(ex+1)>1, 1a
即ex>-1+,解得x>ln,
1-a1-a由f′(x)<0得(1-a)(ex+1)<1, 1a
即ex<-1+,解得x
1-a1-a∴a∈(0,1)时,
a
函数y=f(x)在(ln,+∞)上单调递增,
1-aa
在(-∞,ln)上单调递减.
1-a
综上,当a≥1时,f(x)在R上单调递减; a
-x
??
a
在?-∞,ln 1-a?上单调递减.
??
思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点. (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(f′(x)=0在x=0时取到),f(x)在R上是增函数.
讨论函数f(x)=(a-1)lnx+ax2+1的单调性.
解 f(x)的定义域为(0,+∞), a-12ax2+a-1f′(x)=+2ax=. xx
①当a≥1时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当a≤0时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减; ③当0
1-a
,则当x∈(0, 2a
1-a
)时,f′(x)<0;当2a
x∈(
1-a
,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(0, 2a1-a
)上单调递减,在( 2a1-a
,+∞)2a
上单调递增.
题型三 利用函数单调性求参数
1a
例3 设函数f(x)=x3-x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
32(1)求b,c的值;
(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间;
(3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
解 (1)f′(x)=x2-ax+b,
???f?0?=1,?c=1,
由题意得?即?
?f′?0?=0,???b=0.
(2)由(1)得,f′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0), 当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0; 当x∈(0,a)时,f′(x)<0; 当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞), 单调递减区间为(0,a). (3)g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在x∈(-2,-1), 使不等式g′(x)=x2-ax+2<0成立, 2
即x∈(-2,-1)时,a<(x+)max=-22,
x2
当且仅当x=即x=-2时等号成立.
x
所以满足要求的a的取值范围是(-∞,-22). 引申探究:在本例3(3)中,
1.若g(x)在(-2,-1)内为减函数,如何求解?
解 方法一 ∵g′(x)=x2-ax+2,且g(x)在(-2,-1)内为减函数, ∴g′(x)≤0,即x2-ax+2≤0在(-2,-1)内恒成立,
???g′?-2?≤0,?4+2a+2≤0,∴?即? ?g′?-1?≤0,???1+a+2≤0,
解之得a≤-3,
即实数a的取值范围为(-∞,-3].