内容发布更新时间 : 2024/12/23 19:22:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
其中，?(x,y,z)为已知函数。
2、边界条件
一块烧红的铁放在冷水了要比放在热水里冷却得快，边界上的状况影响着边界内侧，内侧又影响着临近各点直至整个区域。因此，考察一个物理问题不能不考虑外界对它的影响。定量地描述边界状况的数学式子就是边界条件。
（1）第一种边界条件
已知物体与外界接触表面的温度，这种条件的数学表达式为：
u(x,y,z,t)(x,y,z)???f(x,y,z,t)
其中，?表示物体的边界曲面，f(x,y,z,t)是定义在?x,y,z???，0?t??的已知函数。
（2）第二种边界条件
在物体和外界接触表面上知道的不是它的表面温度而是热量在表面各点的流速，也就是说在表面各点的单位面积上单位时间内所流过的热量Q是已知的。这种外界条件实际上表示温度u在曲面上的法向导数是已知的。其的数学表达式为：
?u??n(x,y,z)???f(x,y,z,t)
其中， f(x,y,z,t)是定义在?x,y,z???，0?t??的已知函数。
（3）第三种边界条件
能测量到的仅是和物体接触处的介质的温度u1，u1与物体表面上的温度u往往并不相同。在已知时研究边界条件还必须利用物理中另一个热传导实验定律（牛顿定律）：物体从一个介质流到另一个介质
的热量和两个介质的温差成正比：
dQ?k1(u?u1)dsdt
这里的比例常数k1称为两介质间的热传导系数，取正值。考察在物体中无限贴近于此表面的曲面?1，由于在物体表面热量不能积累，因此在曲面?1上的热量流速等于表面?的热量流速。流过曲面?1的热量由傅里叶定律决定，而流过曲面?的热量由牛顿定律决定，因此有关系式
?k?u?dsdt?k1(u?u1)dsdt?n
即：
k1u?k?u??k1u1 ?n由于k1、k都是正数，因此这种边界条件还可以写成：
?u(???u)?n(x,y,z)???f(x,y,z,t)
其中， f(x,y,z,t)是定义在?x,y,z???，0?t??的已知函数，?为已知
正数。这种边界条件称为热传导的第三种边界条件。
（4）稳定温度与拉普拉斯方程[2]
当外界环境不随时间而变化时，不管物体的初始温度怎样，当时间t??时，物体的温度总是会趋于某种平衡状态。这时温度u已与时
间t无关，因此它满足拉普拉斯方程：
?u?x22??u?y22??u?z22?0
在温度稳定时，热量仍在继续流动，不过在任一曲面所包围的区域中热量的流进和流出的代数和都等于零，因此温度不变化。对于这
种方程定解条件中不再会有初始条件。和热传导方程对应，它也有三种边界条件。
二、MATLAB图形绘制功能简介
数学物理方法课程的内容多而难，题目繁而杂，是一门公认的较难的课程。热传导方程主要是偏微分方程，它的解基本是用公式推导，所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，其中还免不了使用特殊函数。热传导方程的解，尽管都有明确的物理意义，可是怎样能从眼花缭乱的数学表达式中看出其中所表达的物理图像，是一个非常棘手的问题。
MATLAB具有数据可视化技术[3]，MATLAB软件的这一特点就可以解决上面的难题。它的面向图文架构让使用者可执行视觉数据分析，并制作高品质的图形。MATLAB给数据以二维、三维、乃至四维的图形表现。Plot是MATLAB最基本的二维绘图命令，mesh是最基本的三维绘图命令。同时，通过对图形线型、立面、色彩、演染、光线、视觉等品性的处理，可以把复杂繁琐的数学表达式生成容易理解、直观、明晰的图像，使数据的特征表现得淋漓尽致。
三、MATLAB解热传导方程应用举例
例1 求解无限长细杆的热传导（一维无界空间中的扩散）[4]，即：
2???utauxx?0???ut?0??(x),(???x???,0?t)
解：以分离变量形式的试探解
u(x,t)?X(x)T(t)
代入泛定方程得
XT??aX??T?02
用a2XT遍除各项得
T?aT2?X??X
两边分别是时间t和坐标x的函数，不可能相除，除非两边实际上是同一个常数。我们把这个常数记作??2
T?aT2?X??X???2
这可分解为关于T和X关于的常微分方程
T???aT?0X????X?0222
从这两个方程解得
X?Cei?x,T?Ae??at22
所以分离变量形式的解是
u(x,y;?)?A(?)e??at22ei?x
式中?可取任意的实数值，一般解是线性叠加即积分
u(x,y)??????A(?)e??at22ei?xd?
为了确定A(?)，把上式代入初始条件，得
?????A(?)ei?xd???(x)
左边是傅里叶积分，这提示我们把右边的?(x)也展开为傅里叶积分，然后把两边加以比较，知A(?)正是?(x)的傅里叶变换式，
A(?)?12???????(?)e?i??d?
这样所求得的解是
u(x,t)??e?????(?)[12??????e??at22ei?(x??)d?]d?
引用定积分公式???e????a22??d???a?2e4a2，可把所求的解表示为：
?(x??)4at22u(x,t)???????(?)[12a?te]d?
其中取初始温度分布如下：
?1??(x)????0(0?x?1)(x?0,x?1)
这是在区间0—1之间高度为1的一个矩形脉冲，于是得
u(x,t)??1012a?t?(x??)4at22ed?
用MATLAB软件求解，所用程序如下[5]：
xx=-10:.5:10
tt=0:0.1:3 tau=0:0.01:1 a=2;
[X,T,TAU]=meshgrid(xx,tt,tau);
F=1/2/2./sqrt(pi*T).*exp(-(X-TAU).^2/4/2^2./T); js=trapz(F,3); waterfall(X(:,:,1),T(:,:,1),js) 图1所示瀑布图表示温度随时间、空间的变化。图1中?10?0?t?1x?10，
，0?u?100。从图中可以看出，在开始时，温度分布是原点
附近的一个脉冲状的分布，随着时间增加，热量向两边传播，形成一个平缓的波包。不难想象，如果时间足够长，最终杆上温度会为零。
还可以用动画来表示细杆上的温度随时间的变化，只需在上面的程序后加上如下语句（结果如图2）：
figure
h=plot(xx',js(1,:))
set(h,'erasemode','xor');