内容发布更新时间 : 2024/12/22 19:44:53星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题讲座4 立体几何在高考中的常见题型与求解策略
1.如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E、F分别是AD、DD1的中点，则平面EFC1B和平面BCC1所成二面角的正切值等于( ) A．22 B.3 C.5 D.7
解析：选A.设正方体的棱长为2，建立以D为坐标原点，DA、DC、DD1所
→
在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(1，0，0)，F(0，0，1)，EB＝(1， 2，
→→
0)，EF＝(－1，0，1)．易知平面BCC1的一个法向量为CD＝(0，－2，0)，设平面EFC1B的法
→→
向量为m＝(x，y，z)，则m·EB＝x＋2y＝0，m·EF＝－x＋z＝0，令y＝－1，则m＝(2，－
→m·CD21→→
1，2)，故cos〈m，CD〉＝＝＝，tan〈m，CD〉＝22.故所求二面角的正切
→3×23|m||CD|值为22.
2．(2016·唐山统考)已知点A、B、C、D均在球O上，AB＝BC＝3，AC＝3，若三棱锥D-ABC33
体积的最大值为，则球O的表面积为( )
4
A．36π B．16π
16
C．12π D.π
32π
解析：选B.由题意可得，∠ABC＝，△ABC的外接圆半径r＝3，当三棱锥的体积取最大
3133133
值时，VD-ABC＝S△ABC·h(h为点D到底面ABC的距离)?＝××h?h＝3，设R为球O3434
222
的半径，则(3－R)＝R－r?R＝2，
2
所以球O的表面积为4π·2＝16π. 3．已知多面体ABC-A1B1C1的直观图和三视图如图所示，则平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值是________．
解析：由题意
知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，
→→
B(－2，0，0)，C(0，－2，0)，C1(－1，－1，2)，则CC1＝(－1，1，2)，A1C1＝(－1，－1，
→
0)，A1C＝(0，－2，－2)．设平面C1A1C的法向量为m＝(x，y，z)，
→??m·A1C1＝0，??－x－y＝0，
则由?得?
?→－2y－2z＝0，???m·A1C＝0，
取x＝1，则y＝－1，z＝1.故m＝(1，－1， 1)，而平面A1CA的一个法向量为n＝(1，0，
m·n133
0)，则cos〈m，n〉＝＝＝，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为.
|m||n|3333
3
4.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，则上述结论可能正确的是________． 解析：对于 答案：
①，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；对于②，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；对于④，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以④不成立． 答案：②③
5．(2016·九江统考)
如图所示，在长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝λAD＝λAA′(λ>0)，E，F分别是A′C′和AD的中点，且EF⊥平面A′BCD′. (1)求λ的值；
(2)求二面角CA′BE的余弦值． 解：
以D为原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设AA′＝AD＝2，则AB＝2λ，
2
D(0，0，0)，A′(2，0， 2)，D′(0，0，2)，B(2，2λ，0)，C(0，2λ，0)，E(1，λ，2)，F(1，0，0)．
→→→
(1)EF＝(0，－λ，－2)，D′A′＝(2，0，0)，A′B＝(0，2λ，－2)， 因为EF⊥D′A′，EF⊥A′B，
→→→→
所以EF·D′A′＝0，EF·A′B＝0，
2
即－2λ＋4＝0，所以λ＝2.
(2)设平面EA′B的一个法向量为m＝(1，y，z)，
→??m·A′B＝0，
则?
→??m·A′E＝0，→→
因为A′B＝(0，22，－2)，A′E＝(－1，2，0)，
?22y－2z＝0，2所以?所以y＝，z＝1，
2?－1＋2y＝0，所以m＝?1，
?
?2?，1?. 2?
→→
由已知得EF为平面A′BC的一个法向量，又EF＝(0，－2，－2)，
→m·EF→
所以cos〈m，EF〉＝ →|m|·|EF|－1－2
＝ 2?2?22222
1＋??＋1×0＋（－2）＋（－2）
?2?＝
－3
10
×62
又二面角C-A′B-E为锐二面角， 所以二面角C-A′B-E的余弦值为6．(2015·高考江苏卷)
15. 5
＝－15. 5
如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BADπ
＝， PA＝AD＝2，AB＝BC＝1. 2
(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
3