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2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、填空题
x1．函数f(x)?e?x?1的单调递减区间为 ▲ .
2．已知f(0)?1,f(n)?nf(n?1)(n?N?)，则f(4)? ▲ . 23．已知函数f(x)?ax?1?a?0?，g(x)?x?bx。（1）若曲线y?f(x)与曲线
3y?g(x)在它们的交点?1,c?处具有公共切线，求a，b的值；（2）当a2?4b时，求函
数f(x)?g(x)的单调区间，并求其在区间???,?1?上的最大值。
9在点M(3,3)处的切线方程为 ． x5．已知函数f(x)?alnx?x2，若对区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式4．曲线y?f(p?1)?f(q?1)?1恒成立，则实数a的取值范围是 ．
p?q6．已知函数f(x)?13x?x2?(2a?1)x?a2?a?1，若f?(x)?0在（1，3]上有解，则实数3a的取值范围为 ▲ ．
pp
7．若函数f(x)＝x－ x＋2在(1，＋∞)上是增函数，则实数p的取值范围是___________________．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)?e(x?0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________ 关键字：动点；求切线方程；求导数；求最值
9．若直线y=kx-3与y=2lnx曲线相切，则实数K=_________2e 10．已知曲线y?xe上一点P（1,e）处的切线分别交x轴、y轴于A，B两点，O为坐标x原点，则△OAB的面积为 。
11．已知a?2b?0，且关于x的函数f(x)=与b的夹角范围为_______．
131x?ax2?a?bx在R上有极值，则a3212．已知函数f(x)?x?px?qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极大值和极小值分别为 和 。
二、解答题 13．已知函数
．（a∈R）
32（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围． 关键字：对数；求最值；求导；恒成立问题；不能参变分离；求参数的取值范围
14．已知m?R，函数f(x)?(x?mx?m)?e. (1）若函数f(x)没有零点，求实数m的范围.
(2）若函数f(x)存在极大值，并记为g(m)，求g(m)的表达式. (3）当m=0时，求证：f(x)?x?x.
15．两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧
上选择一点C
232x建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在0.065.
的中点时，对城A和城B的总影响度为
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧
上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理
厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,BC?400?x,y?其中当x?102时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为y?224k?(0?x?20) 22x400?xx A C 49?(0?x?20) x2400?x2B 89?(?2x)18x4?8(400?x2)249?（2）y?2?,y'??3?,令y'?0得223222x(400?x)x(400?x)x400?x18x4?8(400?x2)2,所以x2?160,即x?410,当0?x?410时, 18x4?8(400?x2)2,
422即y'?0所以函数为单调减函数,当46?x?20时, 18x?8(400?x),即y'?0所以函
数为单调增函数.所以当x?410时, 即当C点到城A的距离为410时, 函数
y?49?(0?x?20)有最小值. x2400?x222解法二: （1）同上.
（2）设m?x,n?400?x, 则m?n?400,y?49?,所以 mn4949m?n14n9m11当且仅当y???(?)?[13?(?)]?(13?12)?mnmn400400mn400164n9m?n?240即?时取”=”. ?mn?m?160下面证明函数y?49在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. ?m400?m4949??(?) m1400?m1m2400?m2设0