内容发布更新时间 : 2024/12/27 13:11:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
高中数学竞赛专题讲座（解析几何）
一、基础知识
1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 |PF|?e(0 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为 x2y2??1 (a>b>0)， a2b2参数方程为??x?acos?（?为参数）。 y?bsin??若焦点在y轴上，列标准方程为 y2y2??1 (a>b>0)。 a2b23．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆 x2y2?2?1， 2aba称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别 a2为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为x??， ca2c与右焦点对应的准线为x?；定义中的比e称为离心率，且e?，由c2+b2=a2知0 ca椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。 x2y24．椭圆的焦半径公式：对于椭圆2?2?1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, aby)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为 x0xy0y?2?1； a2b2）斜率为k的切线方程为y?kx?a2k2?b2； 3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为 2ab2l?2。 22a?ccos?6．双曲线的定义，第一定义： 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点P的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为 x2y2?2?1， 2ab参数方程为??x?asec?（?为参数）。 ?y?btan?焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 y2x2?2?1。 2ab8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线 x2y2??1(a, b>0), a2b2a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为 a2a2c,x?.离心率e?，由a2+b2=c2F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为x??ccax2y2x2y2k知e>1。两条渐近线方程为y??x，双曲线2?2?1与2?2??1有相同的渐近 ababa线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。 x2y29．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线2?2?1，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它 ab的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P （x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a. 2ab22) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是2。 22a?ccos?10．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为 pp(,0)，准线方程为x??，标准方程为y2=2px(p>0)，离心率e=1. 2211．抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=x?p； 22p。 1?cos2?2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为 12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。 13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0 1．与定义有关的问题。 ep。 1?ecos?x2y2??1的左焦点，点P为椭圆上的动点，当例1 已知定点A（2，1），F是椭圆 25163|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。 [解] 见图11-1，由题设a=5, b=4, c=52?42=3,e?c3?.椭圆左准线的方程为a5x??2541，又因为，过P作??1，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0）32516|PF|35?e?，则|PF|=|PQ|。 |PQ|53PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定义知 所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+ 5|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM?左准线于M)。 3所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得 x??515515,1) ，又x<0，所以点P坐标为(?44x2y2例2 已知P，P'为双曲线C：2?2?1右支上两点，PP'延长线交右准线于K，PF1延 ab长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。求证：∠P'F1K=∠KF1Q. [证明] 记右准线为l，作PD?l于D，P'E?l于E，因为P'E//PD，则 |PK||P'K|?，|PD||P'E|又由定义 |PF1||P'F1||PF1||PD||PK|?e?，所以，由三角形外角平分线??|PD||P'E||P'F1||P'E||P'K|