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2019年高考真题和模拟题分项汇编数学（理）：专题09 不等式、推理与证明（解析版）

专题09 不等式、推理与证明

1．【2019年高考全国II卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

M1M2M1??(R?r)223.设

(R?r)rR3?3?3?4??5r?3?3，则r的近似值为 ??，由于?的值很小，因此在近似计算中2(1??)RA．M2R M13M2R M1

B．M2R 2M1M2R 3M1

C．3D．3【答案】D 【解析】由??r，得r??R R因为

M1M2M1??(R?r)，

(R?r)2r2R3M1M2M1??(1??)，

R2(1??)2?2R2R2所以

M21?5?3?4?3?323??[(1??)?]??3?即， 22M1(1??)(1??)解得??3M2， 3M13所以r??R?M2R. 3M1【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错． 2．【2019年高考全国II卷理数】若a>b，则 A．ln(a?b)>0 C．a3?b3>0

B．3a<3b D．│a│>│b│

【答案】C

ln(a?b)?0，【解析】取a?2,b?1，满足a?b，知A错，排除A；因为9?3a?3b?3，

知B错，排除B；取a?1,b??2，满足a?b，1?a?b?2，知D错，排除D，因为幂函数y?x3是增函数，a?b，所以a3?b3，故选C．

【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．

3．【2019年高考北京卷理数】若x，y满足|x|?1?y，且y≥?1，则3x+y的最大值为 A．?7 C．5 【答案】C 【解析】由题意?

B．1 D．7

??1?y,作出可行域如图阴影部分所示.

?y?1?x?1?y

设z?3x?y,y?z?3x,

当直线l0:y?z?3x经过点?2,?1?时,z取最大值5.故选C．

【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画?移?解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识?基本技能的考查.

4．【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2?m1=

5E1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已E22

B． 10.1

知太阳的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A． 1010.1

C． lg10.1 【答案】A

D． 10–10.1

【解析】两颗星的星等与亮度满足m2?m1?5E1lg,令m2??1.45,m1??26.7, 2E2lgE12E2???m2?m1??(?1.45?26.7)?10.1,1?1010.1. E255E2故选：A．

【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识?信息处理能力?阅读理解能力以及指数对数运算.

?x?y?2?0,?x?y?2?0,?5．【2019年高考天津卷理数】设变量x,y满足约束条件?，则目标函数

x…?1,???y…?1,z??4x?y的最大值为

A．2 C．5 【答案】D

【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线y?4x?z在y轴上的截距， 故目标函数在点A处取得最大值. 由?

B．3 D．6

?x?y?2?0,，得A(?1,1)，

x??1?所以zmax??4?(?1)?1?5. 故选C.