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《线性代数与解析几何》理论知识与MATLAB实验有机融合的探索
作者：王立刚 王锋 沈艳 范崇金 凌焕章 许丽艳 廉春波 来源：《教育教学论坛》2016年第16期
摘要：随着国内高校陆续在数学课程中加入实验环节，理论与实验相结合的数学课教学模式越来越受到广大教师和学生的认可。本文以哈尔滨工程大学的线性代数课程建设和改革为实例，探讨了将理论知识与课程实验深入融合的方法，介绍了我校在课程设置、教材内容和授课方式上的具体做法，这些研究和探索为线性代数教育教学改革提供了有益的思路和方法。 关键词：理论与实践；MATLAB；线性代数实验；教学改革
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）16-0178-03
自从2009年教育部教改项目“用MATLAB和建模实践改造线性代数课程”实施以来，国内一些高校尝试与国外名校的教育方式接轨，将计算机与MATLAB软件引入线性代数等数学课程教学中[1-5]。这种理论与实践相结合的教学模式对于提高数学课程的教育教学质量，提升学生学习兴趣有多方面的优点：（1）利用计算机计算，有利于学生从烦琐的手工计算中解脱，学生可以将更多的注意力集中到对理论知识的理解和掌握上；（2）借助于动画演示，有利于学生从枯燥的概念和理论推导中发现数学的生动和优美；（3）通过应用案例的学习，将数学知识应用到实际生活和工作中，有助于培养学生的自主学习能力和创新意识。 一、《线性代数与解析几何》上机实验课现状分析
在教育部教改项目的推动下，国内一些高校率先在《线性代数与解析几何》课程中开设了MATLAB实验，哈尔滨工程大学是首批高校之一，每年有超过3300名学生参加线性代数实验的学习。经过几年时间的课程建设和运行，这种在数学课程中引入实验的教学模式有力地促进了课程的教学质量，提升了授课效果。但随着线性代数实验课程的深入开展，教学中理论知识和实验内容二者结合不够紧密的问题逐渐显现，并且已经影响了教学效果的进一步提升。这些问题出现的原因主要有以下几个方面：首先，在课程设置过程中，国内高校通常采用的做法是在理论课学时之外，再设立一些学时的实验课，在实验课上讲授MATLAB软件及其在线性代数中的应用，这样将理论课与实验课分开讲授，割裂了理论知识与实践应用之间的内在联系；其次，在讲授内容上，实验课在一次授课中可以完成较多知识点的实验和练习，这些知识点，在理论课中要多次授课才能完成，因此实验课要在多次理论课后才能进行一次，这切断了理论课与实验课以及实验课之间知识的连贯性。从学生的反馈信息来看，学生感觉实验学时太少，实验课的间隔时间过长，刚刚对MATLAB软件入门，对线性代数实验产生兴趣，课程就结束了，下次课要几周之后才上，学生总有种意犹未尽的感觉。因此，在《线性代数与解析几何》课程教学中，需要探索研究将理论知识与实验内容有机融合，在学时有限的情形下，让学生熟
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悉掌握更多的MATLAB软件知识，了解见识更多的实践案例，这对进一步提升实验环节的教学效果、提高授课质量有重要的实际意义。 二、理论与实验有机融合的教学模式构建
为了进一步提升《线性代数与解析几何》课程中理论与实验相结合教学模式的教学效果和教育教学质量，哈尔滨工程大学《线性代数与解析几何》教学团队在教材内容、课程设置和授课技巧三个方面对课程进行了改革。具体改革方式如下。
1.课程设置上的调整。为了保障线性代数教学改革的顺利进行，经过与学校教务部门沟通，我们对线性代数课程的设置进行了微调。在线性代数实验课程设立之初，我校线性代数有理论课56学时和实验课8学时。在8学时实验课中，4学时用于讲授MATLAB软件并演示实验案例，4学时用于学生上机操作实验，所有实验课都是学生周末在机房实验室内集中完成。随着课程的开展，这种课程设置方式的弊端逐一显现：一方面，如前文所述，理论课和实验课知识连贯性被间断；另一方面，占用学生大量的周末时间，导致实验课程与学生周末活动以及各种考试（如大学英语四、六级考试，全校大学化学考试，等等）发生冲突。有鉴于此，我们将4学时演示实验调整到理论课课堂上，MATLAB知识的学习、演示内容和实践案例可以由授课教师根据课程进程和授课内容灵活安排，这种调整既增强了理论课与实验课之间的联系，又增加了理论课授课的生动性，提升了学生的学习兴趣，而且课程设置的调整也推动了教学内容的更新升级。
2.授课内容和教材上的升级。在理论课上增加MATLAB基础知识和演示案例等内容，需要在授课内容和教材上进行相应的调整升级。我们在教材中，在理论知识点后增加相应的MATLAB命令和应用案例，这种方式在国外教材以及国内其他课程中常常采用，也被证明是较为适合我国学生的学习方法。一些具体方法如下： 实例1：行列式计算及其几何意义。
在讲授完行列式的定义和计算方法后，将MATLAB中计算行列式的命令det（A）介绍给学生，并利用一个维数较大的行列式的计算来介绍这个命令的使用方法，并让学生体会利用计算机和MATLAB软件运算的简便和快捷。接下来，引入实例，介绍行列式在数学上的几何意义，即二阶行列式a b a b 的绝对值是以向量 ={a ，b }和 ={a ，b }为邻边的平行四边形的面积（如图1所示），以及三阶行列式 绝对值为相邻棱的平行六面体的体积（如图2所示）。 通过如下例题，学生可以了解到这个结论在数学领域的实际应用。
例1：已知三角形ABC三个顶点的坐标为：A（1，1），B（-1，5），C（3，4），试利用MATLAB软件计算该三角形的面积。
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解：已知三角形ABC的三个顶点坐标，可得向量 =（-2，4）， =（2，3），而三角形ABC的面积等于向量 和向量 构成的平行四边形面积的一半。根据二阶行列式的几何意义，由点（x1，实例2：特征值与特征向量的计算及其几何意义。
特征值与特征向量在线性代数中占有重要地位，但它们的计算较为烦琐。对于初学者来说，它们的意义是什么，为什么要计算这些值并不清晰。在这里增加计算特征值和特征向量的MATLAB命令eig（A），以及演示特征值与特征向量的几何意义的命令eigshow（A），可以有效地帮助学生加深对这部分知识的理解。
例2：利用eigshow（A）命令，演示特征值与特征向量的几何意义。 解：首先输入一个二阶矩阵，再执行eigshow命令
在图3中，绿色的x表示原坐标系中的单位向量，蓝色的Ax表示变换后的新向量。可以用鼠标左键点住x并拖动它绕原点转动，于此同时Ax也相应转动，当两个向量处在同一条直线上时（包括同向和反向），这表明两个向量相位相同，只存在一个实数乘子λ（可正，可负）满足Ax=λx，这就利用eigshow命令演示了特征值和特征向量的几何意义。
3.授课方式上的改进。将MATLAB基础知识和演示内容调整到理论课上，也使传统的授课方式受到了冲击。MATLAB软件有许多内容需要学习，如何合理安排讲授时间、如何去繁就简地选取适当的内容都需要仔细考量。为此，我们只遴选了与课程相关的MATLAB基础知识加入教材中。授课中，通过布置课前预习的方式让学生主动学习MATLAB内容，再利用预习报告和课堂讲授为学生介绍实验中用到的重点内容。同时，要选取恰当的时机引入演示案例，才能更好地发挥演示实验的效果。课堂上，通常在讲授了基本概念、定理及相应的手算方法后，再介绍实验内容，这样既不会让实验内容淡化学生对概念、定理和手算方法的理解和掌握，保证理论知识的整体性，还能够将手算和机算进行对比学习。但在讲授解析几何中的“旋转曲面”时，更适合立刻利用曲面的画图命令进行演示，给学生关于曲面的直观感受。 实例3：曲面的绘制。
在“旋转曲面”这部分内容中，双曲抛物面（马鞍面）和双叶双曲面是学生较难掌握的两个图形，借助于演示实验，可以帮助学生直观认识这两个图形，还能学习三维图像的绘制方法。 解：绘制图像的命令如下： 所得图像如图4所示。
解：利用极坐标绘制该曲面的图像，原方程的参数方程为： 绘制命令如下：