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浅谈高等几何对初等几何的相关指导作用

学生姓名:耿丽 学 号:20085031196

数学与信息科学学院 数学与应用数学专业

指导老师:何俊杰

职 称:讲师

摘 要:本文主要从仿射几何、射影几何、交比调和比、德萨格定理四个方面论述了高等几何对初等几何的指导作用.

关键词:高等几何;初等几何;变换

Discussion on the related instruction function of higher

geometry’s on elementary geometry

Abstract:In this paper,we mainly introduce the related instruction function of higher geometry’s on elementary geometry form the follow four aspects:affine geometry, projective geometry,cross ratio and harmonic ratio,Desargues theorem. Key Words: higher geometry,elementary geometry, transform

前言

初等几何是以静止的观点研究一些简单而又有规则的图形,高等几何则是以变动的观点研究变动的图形.相比较而言,它们虽然同属几何学科,但其观点层次的高低不同.高等几何是在初等几何乃至高等代数等课程的基础上研究几何问题的,它使学生在较高层面上认识几何空间的基本特征、研究方法、内在联系,确认几何学的本质,从而发展了几何空间概念,并为进一步学习近代数学创造条件.

通过学习高等几何,可以居高临下地认识初等几何的内涵,高等几何不仅为初等几何提供了理论依据,更为它拓展了解题途径,丰富了研究方法.因此,高等几何对初等几何具有现实的指导作用,很有研究、探讨之必要,而且内容非常丰富,甚至是无止境的.

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1.更加全面地认识几何

几何学的研究,有静的观点和动的观点两种,公理法建立几何学是研究几何的静的观点,变换群下对应的几何学研究几何动的观点,这两种观点是贯穿现行高等几何教材内容的两条主线.

1.1 射影几何、仿射几何、欧式几何之间的联系

按照Klcin的观点,几何学是研究在相应的变换群下图形保持不变的性质和量的科学.也就是说,每一种几何学都对应着一个变换群,图形在该变换群下保持不变的那些性质和量,就是这种几何的研究对象.由变换群序列,射影群?仿射群?正交群, 它们所对应的几何学从研究范围而言,射影几何?仿射几何?欧式几何,从研究的内容（图形的性质）来说,根据普遍性被包含于特殊性之中,则恰有相反的关系,即射影几何

?仿射几何?欧式几何.

射影几何学是专门研究图形在射影变换下的不变性的一个数学分支.所谓平面上的射影变换,我们可以直观地把它理解为连续施行有限次中心投影所得到的平面到自身的一个变换.射影变换的一个特例是仿射变换,我们可以直观的把它理解为连续施行有限次平行投影所得到的变换,仿射变换下不变形的研究,构成仿射几何学,因此它是射影几何学的一章.仿射变换的一个特例是正交变换,我们可以直观地把它理解为连续施行平移和旋转或者再施行一个轴反射所得到的变换.正交变换下不变性的研究,构成欧式几何学,因此它是仿射几何学的一章.平面射影几何只研究平面图形中那些与点和直线的结合相关的性质,实际上比欧式几何学研究的内容更为基本.了解欧式几何、仿射几何、射影几何三者之间的关系,也就扩大了关于几何学的眼界.站得高,才能看得远,了解了欧式几何在几何学中所处的地位,这就有助于我们从几何学的全局与整体上来理解和把握初等几何教材.

1.2 欧式几何和非欧氏几何的关系

几何学的思维其源于非欧氏几何.因此唯有从非欧氏几何的观点来看才能得以阐明在中学所研究的欧式几何学的逻辑结构.只懂得一种欧几里得几何,就不能充分了解几何学的结构特点.几何学之所以能够提高到现代的观点,不过是在研究了非欧几何以后的事情.罗巴切夫斯基几何——在其中过已知直线的外任一点至少可以引两条直线与已知直线平行,和黎曼几何——在其中过已知直线的外任一点没有任何直线与已知直线平行,统称为非欧几何学.欧式几何、罗氏几何、黎氏几何这三种几何学表面上互

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相矛盾,互相排斥,但它们在射影几何是统一的,都是射影几何的子几何.了解它们之间的关系,对初等几何教材的理解和把握就会加深一步.

用公理法研究几何学,对于培养学生的逻辑思维能力,了解几何学的发展历史,以及对几何中许多问题的透彻理解都是极为有利的.不同的公理体系可以建立不同的几何学,从而说明任何几何学和几何公理都是相对于某种公理体系而言的.例如,若将欧式几何的希尔伯特公理体系的平行公理换成罗巴切夫斯基—伯利亚公理,而保持其余公理不变,便得到了罗氏几何.历史上,从公元前320年欧几里得《几何原本》问世后,到公元1826年非欧几何诞生为止,围绕欧式第五公设的一场持续两千多年的争论,要解决的就是这样一个问题.确立了上述观点,依据公理化方法,就能对几何中的许多问题做出透彻的理解.例如,射影几何中为什么成立对偶原理而在欧式几何中却不成立？其原因是在射影几何中三组公理的对偶命题成立,而在欧式几何中,结合公理的第一条“通过任意给定的两点有一直线”的对偶命题是不成立的,如果离开了公理化体系,这个问题是很难解决的.掌握公理化还能对几何中的一些概念做出准确的解释.例如,在学习公理化之前,往往不容易区分像“两线段的大小”和“线段的长度”的概念,但学习了希尔伯特公理体系之后,便会清醒地认识到,用介于关系只能对两线段的大小进行比较而不能给出线段长度的概念,建立线段长度的概念还必须依赖连续公理.这样就将两个概念从思想上严格地区分出来,从而避免了犯混淆概念的错误.

2.高等几何对初等几何的指导作用的具体实例分析

由于射影几何包含初等几何,因此射影几何的性质必然是初等几何的性质,所以可以运用射影几何理论来解决初等几何问题.从而为初等几何解题方法寻求了更广泛的途径.

2.1 利用仿射几何变换法证明初等几何题

放射几何是高等几何的重要组成部分,是连接射影几何与欧式几何的纽带,是应用高等几何只是解决初等几何问题的一条重要通道.在初等几何里,有大量的命题是研究图形的仿射性质的,即不涉及到距离、角度、面积的具体度量,而仅涉及到点线结合关系、直线的平行性、共线与平行线段之比、封闭图形面积之比以及线段重点等概念.对于这类的命题,我们可以充分地利用仿射几何的有关理论,由特殊到一般,化繁为简地加以解决,从而达到事半功倍的效果.这方面问题的解决,常常可以借助于仿射变换与仿射坐标系来实现.

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2.1.1 仿射变换的应用

在仿射几何里,几何图形在任意仿射变换下都具有保持同素性、结合性和二直线的平行性及共线三点的单比、共线或平行二线段长度之比、二封闭图形面积之比不变的仿射不变性质和仿射不变量.因而,当我们要研究初等几何中图形的仿射性质时,可以在已知条件下做出它的一个比较容易研究的仿射对应图形,由研究图形的相关性质转而得出图形的性质.

例1 （国际数学竞赛题）证明G为?ABC重心的充要条件是S?AGB?S?AGC?

S?BGC

图1

证明 如图1,在正?ABC中,若G是正?ABC的重心,则G也为内心,即G到三边距离GD,GE,GF相等,故S?AGB?S?AGC?S?BGC.

反之若S?AGB?S?AGC?S?BGC,因为AB?BC=AC,故G到三边的距离GD, GE,

GF相等,即G是正?ABC的内心,从而G也是重心.

根据仿射性质的特点,命题对正三角形成立,所以对一般的三角形也成立. 例2 求证:“正方形ABCD的一组邻边上有E,F两点,且EF//AC.则?AEB和

?CFB面积相等“（见图2）

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图2

''证明 将此命题作一仿射对应,仿射对应后的记号不变,使正方形A'BCD'对应平

行四边形ABCD,E'对应E,F'对应F.

''在正方形A'BCD'中(见图2)

显然有

?A'E'B'??C'E'B'

由于两个多边形面积之比为仿射不变量,

所以在平行四边形ABCD中,?AEB和?CFB面积相等.

于是可得另一命题“平行四边形ABCD的一组邻边上有E,F两点,且EF//AC,则?AEB和?CFB面积相等”.

例3 已知L,M,N分别为分?ABC的三边AB,BC,CA成相同比例的两个线段的三等分点,求证:?ABC和?LMN有相同的重心.

图3

''证明 经适当仿射变换将?ABC变成正三角形?A'BC (如图3).

''设正三角形?A'BC的重心为G',L',M',N'分别为L,M,N在仿射变换下的象.

因仿射变换保持单比不变,

''N'是正三角形,且G'L'?G'M'?G'N', 故可得?LM''N'的重心, 因此G'是?LM''''N'有相同的重心, 即?A'BC和?LM又仿射变换保持三角形重心不变, 故?ABC和?LMN重心相同.

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