内容发布更新时间 : 2024/5/22 3:23:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
三角形中作辅助线的常用方法举例
一、延长已知边构造三角形：
例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC 分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点， ∵AD⊥AC BC⊥BD （已知） ∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE与△CAE中
EAOB??E??E(公共角) ∵???DBE??CAE(已证)
?BD?AC(已知)? ∴△DBE≌△CAE （AAS）
∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。
D图7?1C（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）
二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE 分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时
FAEDB 1
12图9?1CCE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA，CE交于点F。 ∵BE⊥CF （已知）
∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）
在△BEF与△BEC中，
??1??2(已知) ∵ ? ?BE?BE(公共边)??BEF??BEC(已证)?∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=
1CF （全等三角形对应边相等） 2 ∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）
∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° ∴∠BDA＝∠BFC
在△ABD与△ACF中
??BAC??CAF(已证)? ??BDA??BFC(已证)
?AB＝AC(已知)? ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE
四、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。 分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。
证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN
?AN?DN(辅助线的作法)中 ∵ ? ??A??D(已知)?AB?DC(已知)?ANDB
2
M图11?1C∴△ABN≌△DCN （SAS）
∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等）
在△NBM与△NCM中
?NB＝NC(已证) ∵??BM＝CM(辅助线的作法)
?NM＝NM(公共边)?∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。
巧求三角形中线段的比值
例1. 如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，AF：FC。 求解：过点D作DG//AC，交BF于点G 所以DG：FC＝BD：BC
因为BD：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4 即DG：FC＝1：4，FC＝4DG
因为DG：AF＝DE：AE 又因为AE：ED＝2：3 所以DG：AF＝3：2 即
例2. 如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD 所以AF：FC＝：4DG＝1：6
解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC 因为AF＝FC 所以AF：AC＝1：2
即EF：GC＝1：2，
因为CG：DE＝BC：BD 又因为BC＝CD
所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC
因为FD＝ED－EF＝ 所以EF：FD＝
小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！
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例3. 如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。 解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。 所以DF：BG＝CD：CB
因为BD：DC＝1：3 所以CD：CB＝3：4
即DF：BG＝3：4，
因为AF：BG＝AE：EB 又因为AE：EB＝2：3
所以AF：BG＝2：3 即
所以AF：DF＝
例4. 如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。 解：过点D作DG//CE，交AB于点G 所以EF：DG＝AF：AD
因为AF＝FD 所以AF：AD＝1：2 图4
即EF：DG＝1：2
因为DG：CE＝BD：BC，又因为BD：CD＝1：3， 所以BD：BC＝1：4 即DG：CE＝1：4，CE＝4DG
因为FC＝CE－EF＝
所以EF：FC＝＝1：7
练习：
1. 如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。 2. 如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。
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答案：1、1：10； 2. 9：1
二 由角平分线想到的辅助线
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
（一）、截取构全等
例1． 如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题
中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
例2． 已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC
BFCAED图1-2 5