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代数学引论(聂灵沼-丁石孙版)第一章习题解答
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第一章 代数基本概念
1.
如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.
G,由结合律我们可得到
(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b
再由已知条件以及消去律得到
ba=ab,
由此可见群G为交换群. 2.
如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.
G,
ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab
因此G为交换群. [方法2] 对任意a,b
G,
a2b2=e=(ab)2,
由上一题的结论可知G为交换群. 3.
设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由ab=ac推出a=c; (3) 由ac=bc推出a=b; 证明G在该乘法下成一群. 证明:[方法1]
设G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若i
akaiaiak
再由乘法的封闭性可知
G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------<4>
由<1>和<3>知对任意at由<2>和<4>知对任意at
G, 存在amG, 存在as
G,使得
akam=at.
G,使得
asak=at.
由下一题的结论可知G在该乘法下成一群.
下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2]
为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可.
为了叙述方便可设G={a1,a2,…,an}.
3
ak aj------------<1> aj ak------------<2>
j(I,j=1,2,…,n),有
证明: [方法1] 对任意a,b证明: 对任意a,b