内容发布更新时间 : 2024/12/25 15:21:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第十七章 隐函数定理及其定理
1隐函数
一、隐函数的概念
设E?R2,函数F:E→R2.如果存在集合I,J?E,对任何x∈I, 有惟一确定的y∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称 F(x,y)=0确定了一个定义在I上, 值域含于J的隐函数. 若把它记为 y=f(x), x∈I, y∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x∈I.
注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.
二、隐函数存在性条件的分析
隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P0(x0,y0), 使F(x0,y0)=0, y0=f(x0).
要使隐函数y=f(x)在点P0连续，需F在点P0可微，且(Fx(P0),Fy(P0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P0存在切平面.
要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P0可微, 则在F可微的假设下， 通过F(x,y)=0在P0处对x求导，由链式法则得：Fx(P0)+Fy(P0)当Fy(P0)≠0时，可得Fx(P0)≠0时，可得
dxdydydxx?x0=0.
dydxx?x0=-
Fx(P0), 同理，当 Fy(P0)y?y0=-
Fy(P0)Fx(P0).
三、隐函数定理
定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件： (1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D?R2上连续； (2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)； (3)F在D内存在连续的偏导数Fy(x,y)； (4)Fy(x0,y0)≠0. 则
1、存在点的P0某邻域U(P0)?D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x), 使得 当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0), 且F(x,f(x))≡0, y0=f(x0)； 2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.
证：1、由条件(4), 不妨设Fy(x0,y0)>0(若Fy(x0,y0)<0,则讨论-F(x,y)=0). 由条件(3)Fy在D上连续，及连续函数的局部保号性知， 存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]?D, 使得 在其上每一点都有Fy(x,y)>0. ∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β], F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续. 由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)<0, F(x0,y0+β)>0. 又由F的连续性条件(1), 知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0+β]上也是连续的，由保号性知， 存在0<α≤β, 当x∈(x0-α,x0+α)时， 恒有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.
如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值， 在A’B’边上F取正值.
∴对(x0-α,x0+α)上每个固定值x,同样有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0. 又F(x,y)在[y0-β,y0+β]上严格增且连续,
由介值性定理知存在唯一的y∈(y0-β,y0+β), 满足F(x,y)=0. 又由x在(x0-α,x0+α)中的任意性，证得存在惟一的隐函数y=f(x), 它的定义域为(x0-α,x0+α), 值域含于(y0-β,y0+β), 若记 U(P0)=(x0-α,x0+α)×(y0-β,y0+β), 则y=f(x)在U(P0)上即为所求. 2、对于(x0-α,x0+α)上的任意点x, y=f(x). 则由上述结论可知, y0-β
注：1、定理18.1的条件仅充分，非必要；如：
方程y3-x3=0, 在点(0,0)不满足条件(4)(Fy(0,0)=0),但仍能确定惟一的连续的隐函数y=x.
而双纽线F(x,y)=(x2+y2)2-x2+y2=0, 虽然F(0,0)=0, F与Fy均连续，满足条件(1),(2),(3),但Fy(0,0)=0, 致使其在原点无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一的隐函数.
2、条件(3)和(4)可以减弱为“F在P0的某一邻域上关于y严格单调”. 3、如果把条件(3),(4)改变Fx(x,y)连续，且Fx(x0,y0)≠0，则结论是存在