内容发布更新时间 : 2026/1/11 18:47:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
小中高 精品 教案 试卷
第八章 立体几何 8.6 空间向量及其运算 理
1．空间向量的有关概念
名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面向量
2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量． (3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
→→
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹π
角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记
2作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
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概念 模为0的向量 长度(模)为1的向量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 表示 0 a＝b a的相反向量为－a a∥b 小中高 精品 教案 试卷
(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
数量积 共线 垂直 模 向量表示 坐标表示 a·b a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0(a≠0，b≠0) |a| a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 22a21＋a2＋a3 cos〈a，b〉＝夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3 2222a2b21＋a2＋a3·1＋b2＋b3
【知识拓展】
→→→
1．向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
→→→→
2．向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面．( √ )
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × ) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × )
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × ) →→→→
(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.( √ )
→→
1．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为( ) 12 12322
A．a B.a C.a D.a
244答案 C
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→→→
解析 如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角→1→1
为60°.AE＝(a＋b)，AF＝c，
22
111212→→12
∴AE·AF＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(acos 60°＋acos 60°)＝a.
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2．(2016·大连模拟)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( ) A．a∥b，a∥c C．a∥c，a⊥b 答案 C
解析 因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a， 所以a∥c.
又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0， 所以a⊥b.故选C.
3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是________________________． 答案 ?
2??32222??3222，，－?和?－，－，?
52??1052??10
B．a∥b，a⊥c D．以上都不对
解析 因为与向量a共线的单位向量是±
－
2a，又因为向量(－3，－4,5)的模为|a|
152
(－3，
＋－
2＋5＝52，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±
2－4，5)＝±2
(－3，－4,5)． 10
→→→→
4.如图，在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________.(用a，b，c表示)
111答案 a＋b＋c
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→1→1→1→1→1→解析 OE＝OA＋OD＝OA＋OB＋OC
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