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华南师范大学1998年高代试题

a1?b1?xa1?b2?a2?b1a2?b2?x?一．计算行列式

???an?b1 二．设

a1?bna2?bn?

an?b2?an?bn?xf(x)?x3m?x3n?1?x3p?2， g(x)?x2?x?1，其中m,n,p为非负整数,

f(x)充要条件是m,n,p具有相同的奇偶性

则g(x)|?x1?x2?3x3?x4?0?3x?x?3x?4x?0?1234三．解线性方程组，找出基础解系，写出一般解?

?x1?5x2?9x3?8x4?0??2x1?2x2?5x4?0a11a12?a1ta21a22?a2t四．设m?n矩阵A?(aij)的最高阶非零子式为?0,证明这个子

????at1at2?att式所在的A的前t个行向量?1?2??t是A的行向量组的极大无关组 五．求多项式

f(x)?x6?7x4?8x3?7x?7和g(x)?3x5?7x3?3x2?7的最

大公因式(f,g)

六．已知两向量组?1,?2,?,?t与?1,?2,?,?t,?t?1,?,?s有相同的秩，证明

?1,?2,?,?t与?1,?2,?,?t,?t?1,?,?s等价

七．设A，B是n阶对称方阵，证明乘积AB对称的充要条件是A与B可交换

华南师范大学1999年高代试题

a1b1?xa1b2?a2b1a2b2?x?一．计算行列式D????anb1二．（1）设a?0,证明(x(2)设

ma1bna2bn?

anb2?anbn?x?am)|(xn?an)的充要条件是m|n

f(x),g(x),h(x)是数域F上的多项式，证明(f(x),g(x)h(x))?1的充要条

件是(f(x),g(x))?1且(f(x),h(x))?1

三．设A，B，C都是n阶矩阵，满足AC=CA，AD=CB和

证明n?秩(G)?2n

四．设T为有限维欧氏空间V的对称变换,证明TV是T五．用正交变换化二次型2x1

2??AB? A?0，令G????CD?(0)的中正交补

22为标准型 ?4x1x2?2x1x3?x2?4x2x3?2x3六．设V1,V2,?,Vn是是向量空间V的子空间，证明和空间V1?V2???Vn是直和的充

要条件是各子空间Vi(i?1,2,?,n)的基底合起来是和空间的基底

华南师范大学2000年高代试题

a?n一．计算行列式

a?(n?1)?a?2a?n??a?3??a?1a?2?

a?1?a?(n?2)a?(n?3)?a?na?(n?1)a?(n?1)a?(n?2)?a?1a?n二．（1）设

f(x),g(x)是两个不同时为0

的实系数多项式，证明：对于任意正整数n，

(f(x),g(x))n?(fn(x),gn(x))

（2）设a是一个实数，证明：多项式最多只有一个实根（不计重数） 三．设n阶矩阵

f(x)?xn?axn?1?a2xn?2???an?1x?anA满足A2?E，(E是n阶单位矩阵)，证明：（1）A相似于形为

?Es?0?0?的矩阵，其中Es表示s阶单位矩阵；（2）对于任何正整数m,k，都??En?s?m有秩(A+E)四．设

设

+秩(A-E)k?n

f(x),g(x)为数域F的多项式，且有(f(x),g(x))?1，A是F上的一方阵， f(A)g(A)X?0，f(A)X?0，g(A)X?0的解空间分别是W,V1和V2，

证明W?V1?V2

2?2五．设实数域k上的全体2阶方阵构成的欧氏空间为R?ab?，取固定的矩阵A??在??bd?R2?2上定义变换，?:X?AX?XA, ?X?R2?2

（1）证明?是线性变换； （2）求出?关于R2?2的标准正交基E11,E12,E21,E22下的矩阵；

的标准正交基，?在此基下矩阵为对角阵；并求出其最小多项

（3）证明存在一个R式

2?2六.设实二次型q(x1,x2,x3)?22x12?4x1x2?5x2?10x3?2x1x3?10x2x3

（1） 求此二次型的正惯性指标和符号差； （2） 问方程q(x1,x2,x3)?2x3?2?0对应空间R3中的什么曲面

华南师范大学2002年高代试题

x一．计算行列式

a1xa2a2a2xa3?ana3?ana3?an

a1a1??????a1a2a3a4?x二．设

f(x),g(x)是数域F上的多项式，f(x)?d(x)f1(x),g(x)?d(x)g1(x)，

f(x),g(x)的最大公因式当且仅当(f1(x),g1(x))?1

证明：d(x)是

三．设是C复数，并且是有理数域Q上的一个非零多项式的根，

令J??f(x)?Q(x)│f(c)?0?，证明：J中存在唯一的首项系数为1的多项式

P(x)，使得对于任意f(x)?J,f(x)?p(x)q(x),q(x)?Q[x]

四．设A是m?n矩阵，B是m?s矩阵，证明存在n?s矩阵X满足AX必要条件是秩(A,B)=秩A

五． 设是V数域F上的线性性空间。V中一组向量?1,?2,?,?t生成的子空间是

?B的充分

L(?1,?2,?,?t)??x1?1?x2?2???xt?t|x1,x2,?,xt?F?。证明

（1）L(?1,?2,?,?t)是所有包含?1,?2,?,?t的子空间中的最小者； （2）dim[L(?1,?2,?,?k)?L(?1,?2,?,?m)]

?秩??1,?2,??,k?,1?,2?,?m,?；

（3）若?1,?2,?,?k,?1,?2,?,?m是V中两组线性无关的向量，则

L(?1,?2,?,?k)?L(?1,?2,?,?m)是直和当且仅当

?1,?2,?,?k,?1,?2,?,?m线性无关；

六． 设A是实数域R上n阶对称矩阵，对于?

?(x1,x2,?,xn)',

??(y1,y2,?,yn)'?Rn，定义(?,?)??'A?，证明Rn在此定义下构成欧氏

空间的充分必要条件是A为正定矩阵

七．设实数域

3维线性空间

R3上的线性变换

?定义为

?(x,y,z)?(2x?y,y?z,2y?4z)。V?1,V?2,V?3分别是其特征值?1,?2,?3的

特征子空间。 （1） 求U（2）

?V?1?V?2?V?3

?能否对角化；

（3） 证明?|U可以对角化，求出U的一个基，使?|U在此基下的矩阵为对角形，

并写出此对角形矩阵

八．已知二次型

22通过正交替换化为标准形 f?3x12?3x2?2x3?2bx1x2 (b?0)22。求出参数b和相应的正交矩阵。 f?y12?2y2?5y3

华南师范大学2003年高代试题

a11?xa12?x?a1n?xnna21?xa22?x?a2n?x七．证明行列式等式?A?x??Aij

????i?1j?1an1?xan2?x?ann?x其中

A?aij,Aij是aij在aij中的代数余子式