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华南师范大学2006年复试高代试题

一．设V是数域F上的n维向量空间，证明V上的线性变换全体构成的向量空间L(V)维

数是n，并给出它的一个基。

二．设A是一个n阶实对称矩阵，证明：如果?0是A的k重特征值，则矩阵?0I秩是n?k，其中I是n阶单位阵 三．已知有理系数多项式

2?A的

f(x)?x3?(1?t)x2?3x?2u与g(x)?x3?tx?u的最

大公因式是一个2次多项式，求t,u的值和(f(x),g(x))

四．设U1,U2是向量空间V的两个子空间，证明U1?U2是子空间的充分必要条件是

U1?U2或U2?U1，举例说明两个子空间并集不一定是子空间。

高代题(未知年份)

一．（1）设a?0,证明(x(2)设

m?am)|(xn?an)的充要条件是m|n

f(x),g(x),h(x)是数域F上的多项式，证明(f(x),g(x)h(x))?1的充要条

件是(f(x),g(x))?1且(f(x),h(x))?1

二．设是C复数，并且是有理数域Q上的一个非零多项式的根，

令J??f(x)?Q(x)│f(c)?0?，证明：J中存在唯一的首项系数为1的多项式

P(x)，使得对于任意f(x)?J,f(x)?p(x)q(x),q(x)?Q[x]

三．设F是数域，V是F上的三维线性空间，?1,?2,?3是其一组基。A是V的线性变

换：A(?1)??1,A(?2)??1??2,A(?3)??1??2（1） 试求A的逆变换A在基?1,?2,?3下的矩阵； （2） 求A在基A(?1),A(?2),A(?3)下的矩阵。

四．设是V数域F上的线性性空间。V中一组向量?1,?2,?,?t生成的子空间是

?1?1??3，

L(?1,?2,?,?t)??x1?1?x2?2???xt?t|x1,x2,?,xt?F?。证明

（1）L(?1,?2,?,?t)是所有包含?1,?2,?,?t的子空间中的最小者； （2）dim[L(?1,?2,?,?k)?L(?1,?2,?,?m)]

?秩??1,?2,??,k?,1?,2?,?m,?；

（3）若?1,?2,?,?k,?1,?2,?,?m是V中两组线性无关的向量，则

L(?1,?2,?,?k)?L(?1,?2,?,?m)是直和当且仅当

?1,?2,?,?k,?1,?2,?,?m线性无关；

R．设R是实数域，

2?2为所有2阶实方阵构成的线性空间，对于固定的实数a,b,c,d?R，

定义R2?2?ab?T上线性变换，T:x??x ??cd??10??01??00??00? （1）求T在基E1??下的矩阵 ,E2??,E3??,E4???????00??00??10??01??ab??12? （2）若?，将线性变换T对角化，并给出变换的矩阵 ?????cd??21?六．设V是实数域R上的n维欧氏空间，?1,?2?V是两个正交的向量。变换T定义为，

对于??V,T????2(?,?2)2(?,?1)?2??1，证明：

??2,?2???1,?1?（1）T是V上正交变换； （2）T2?E，E是V上恒等变换；

??1,?1,1,?,1?。

（3）存在V的标准正交基，使T在此标准正交基下的矩阵是diag