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全国2010年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．在空间直角坐标系下，方程2x2+3y2=6表示的图形为（ ） A．椭圆 C．旋转抛物面

2．极限limarcsin(x+y2)=（ ）

x?12y?0B．柱面 D．球面

A．C．

π 6π 2B．

π 3D．π

3．设积分区域Ω:x2?y2≤R2，0≤z≤1，则三重积分A．C．

???f(xΩ2?y2)dxdydz?（ ）

??2π02πd?d???0Rdr101f(r2)dz f(x2?y2)rdz

B．D．

?2π0πd??0R0rdr?1010f(r2)dz

0??0Rdr0?0d??Rrdr?f(r2)dz

4．以y=sin 3x为特解的微分方程为（ ） A．y???y?0 C．y???9y?0 5．设正项级数

B．y???y?0 D．y???9y?0

?n?un?1收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ）

A．

?un?1??n?100 B．

?(un?1?n?1?un)

C．

?(3u)

nn?1D．

?(un?1?n?1)

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 6．向量a={1,1,2}与x轴的夹角??__________. 7．设函数f(x,y)?xyy，则f(,1)?__________.

xx2?y28．设?是上半球面z=1?x2?y2的上侧，则对坐标的曲面积分

??ydxdy?__________.

3?9．微分方程y????3y??sinx的阶数是__________.

10．设f(x)是周期为2π的函数，f(x)在??π,π?上的表达式为

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,x???π,0?.?0?S(x)是f(x)的傅里叶级数的和函数，则S（0） f(x)??3??sinx,x?0,π.??2=__________.

三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

11．设平面π过点P1（1，2，－1）和点P2（－5，2，7），且平行于y轴，求平面π的方程. ?2z12．设函数z?lnx?y，求.

?x?y2213．设函数z?e2x?3y，求全微分dz.

14．设函数z?f(x2?y2,2xy)，其中f (u, v)具有一阶连续偏导数，求15．求曲面x2+y2+2z2=23在点（1，2，3）处的切平面方程. 16．计算二重积分17．计算三重积分

?z?z和. ?y?x2??sin(xD2?y2)dxdy，其中积分区域D：x2+y2≤a2.

???Ωzdxdydz，其中Ω是由曲面z=x2+y2，z=0及x2+y2=1所围区域.

18．计算对弧长的曲线积分x2ds，其中C是圆周x2+y2=4的上半圆.

?C19．计算对坐标的曲线积分

?(1?3y)dx?(1?2x?y)dy，其中C为区域D：| x |≤1，| y |≤1 的正向边界曲线.

C20．求微分方程e2x?ydx?ex?ydy?0的通解. 1?(?1)n?121．判断无穷级数的敛散性. 22nn?1??22．将函数f(x)?

1展开为x+1的幂级数. x?5四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

y23．设函数z??()，其中?(u)为可微函数.

x?z?z证明：x?y?0

?x?y24．设曲线y=y (x)在其上点（x, y）处的切线斜率为4x2?y，且曲线过点（1，1），求该曲线的方程. x25．证明：无穷级数

?(n?1?n?2?2n?1?n)?1?2.

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