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一元二次方程

一、本章知识结构框图

实际问题 设未知数，列方程 数学问题 ax2?bx?c?0(a?0) 开平方法 解方程降次配方法 数学问题的解 公式法 分解因式法 实际问题的答案 检 验 ?b?b2?4ac x?2a

二、具体内容 （一）、一元二次方程的概念

1．理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

（1）明确只有当二次项系数a?0时，整式方程ax?bx?c?0才是一元二次方程。

（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程

3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程

（二）、一元二次方程的解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：

2(1)开平方法：对于形如x?n或(ax?b)?n(a?0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未

22知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如x?n的方程的解法：

2

当n?0时，x??n; 当n?0时，x1?x2?0; 当n?0时，方程无实数根。

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x?m)?n的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x?m)?n的形式； ④求解：若n?0时，方程的解为x??m?

22n，若n?0时，方程无实数解。

?b?b2?4ac（3）公式法：一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根x?

2a2当b?4ac?0时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

当b?4ac?0时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为x1?x2??当b?4ac?0时，方程无实数根.

公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a,b,c的值；③代入b?4ac中计算其值，判断方程是否有实数根；④若b?4ac?0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）

（4）因式分解法：

①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若ab?0，则a?0或b?0； ②因式分解法的一般步骤：

若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程

①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。

②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程

（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；

（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。

2222b； 2a2

（三）、根的判别式

1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）?=b?4ac

（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax?bx?c?0（a?0）

22?a?0①当??方程有实数根；

??0时?（当??a?0?a?0） ?方程有两个不相等的实数根；当??方程有两个相等的实数根；

???0时???0时?a?0②当??方程无实数根；

??0时?从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

2．常见的问题类型

（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况

（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论.

例：求证：方程(a?1)x?2ax?(a?4)?0无实数根。

（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题

（四）、一元二次方程的应用

1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。

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