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全国2010年4月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.arg（-1+3i）=（ ） A.-? 3B.

? 3?3C.?

2.w=|z|2在z=0（ ） A.不连续 C.不可导

?3D.?+2nπ

B.可导 D.解析

3.设z=x+iy，则下列函数为解析函数的是（ ） A.f（z）=x2-y2+i2xy C.f（z）=x+i2y

4.设C为由z=-1到z=l的上半圆周|z|=1，则A.2πi C.1

5.设C为正向圆周|z|=1，则A.-πi C.πi

6.设C为正向圆周|z|=2，则

CB.f（z）=x-iy D.f（z）=2x+iy

?|z|dz=（ ）

B.0 D.2

?Cdz=（ ）

z(z?2)B.0 D.2πi

?eizz(z?i)3Cdz=（ ）

B.e-1 D.-πe-1i

A.0 C.2πi 7.z=0是A.1 C.3

8.以z=0为本性奇点的函数是（ ）

sinzz3的极点，其阶数为（ ）

B.2 D.4

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A.sinz zB.

1z(z?1)2

1C.ez

2(z?1)2?D.

1e?1z

9.设f（z）的罗朗展开式为-A.-2 C.1

1+（z-1）+2（z-l）2+…+n（z-1）n+…则Res[f（z）,1]=（ ） z?1B.-1 D.2

f?(z)在z=a的留数为（ ） f(z)10.设z=a为解析函数f（z）的m阶零点，则函数A.-m C.m-1

B.-m+l D.m

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分,共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.|z-i|=|z-1|的图形是_______________. 12.设z=ii，则Im z=_______________.

13.设C为由点z=-l-i到点z=l+i的直线段，则 z3dz=_______________.

C?6114.设C是顶点为z=±,z=±i的菱形的正向边界，则

25?Ce2dz=______________. z?i15.设C为正向圆周|z|=1，则 zcos zdz=_________.

C?16.函数

1在点z=4的泰勒级数的收敛半径为_________. z?2三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17.设z=x+iy,求复数

z?1的实部与虚部.（6分） z?118.求复数i8-4i25+i的模.（6分）

19.求f（z）=（z-1）2ez在z=1的泰勒展开式.（6分） 20.求f（z）=

2在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.（6分）

(z?1)(z?2)21.求解方程cos z=2.（7分）

22.设z=x+iy,试证v（x,y）=x2+2xy-y2为调和函数，并求解析函数f（z）=u（x,y）+iv（x,y）.（7分） 23.设C为正向圆周|z-2|=1,求

?ezz(z?2)2Cdz.（7分）

24.设C为正向圆周|z|=1，求

?Csin1dz.（7分） z四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分）

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25.（1）指出f（z）=

z2(z2?1)(z2?4)在上半平面内的所有奇点及类型；

（2）计算f（z）在以上奇点的留数； （3）利用以上结果计算实积分

???x2(x2?1)(x2?4)??dx.

26.设D为Z平面上的扇形区域0

?.试求下列保角映射： 3（1）w1=f1（z）把D映射为W1平面的上半平面Im w1>0;

（2）w=f2（w1）把Im w1>0映射为W平面上的单位圆盘|w|<1，并且满足f2（2i）=0; （3）w=f（z）把Z平面上的区域D映射为W平面上的单位圆盘|w|<1. 27.用拉普拉斯变换解方程y（t）=sin t-2y(?)cos(t??)d?

0t?

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