内容发布更新时间 : 2024/5/17 10:47:35星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章 线性规划

1、写出下列问题的模型

（1）一家玩具公司制造三种桌上高尔夫玩具，每一种要求不同的制造技术。高级的一种需要17小时加工装配劳动力，8小时检验，每台利润300元。中级的需要10小时劳动力，4小时检验，利润200元。低级的需要2小时劳动力，2小时检验，利润100元。可供利用的加工劳动力为1000小时，检验500小时。

其次，有市场预测表明，对高级的需求量不超过50台，中级的不超过80台，低级的不超过150台。

制造商决定采用一个能使总利润为最大的最优生产计划。

（2）某建筑材料预制厂生产A1、A2两种产品，现有两种原料，第一种有72立方米，第二种有56平方米，，假设生产每种产品都需要两种原材料。生产每件产品所需原料如表1-1所示。每生产一件A1可获得利润60元，生产一件A2可获得利润1000元，预制厂在现有原料的条件下，A1、A2各应生产多少，才能使获得利润最大。

表1-1 产品 第一种 0.18 0.07 原料（单位：立方米） 第二种 0.09 0.68 A1 A2 （3）用长度为500厘米的条材，截成长度分别为98厘米和78厘米的两种毛坯，要求共截出长98厘米的毛坯10000根，78厘米的20000根，问怎样截取，才能使用料最少？

（4）某商店制定某商品7-12月的进货收货计划，已知商店仓库容量不得超过500件，六月底已存货200件，以后每月初进货一次，假设各月份某商品买进、售出单位如下表1-2所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多?

表1-2

月 买进（元） 售出（元）

7 28 29

8 24 24

9 25 26

10 27 28

11 23 22

12 23 25

（5）某厂生产A、B、C三种产品。每单位产品A需要1小时技术准备（指设针、试验等）、10小时直接劳动和3公斤材料。每单位产品B需要2小时技术准备、4小时劳动和2千克材料。每单位产品C需要1小时技术准备、5小时劳动和1千克材料。可利用的技术准备时间为100小时，劳动时间为700小时，材料为400千克。

公司对大量购买提供较大的折扣，利润数字如下表1-3所示。试列出使利润最大的数模。

表1-3

产品

销售量（件）

0~40 40~100 100~150 150以上

A

单位利润（元）

10 9 8

0~50 50~100 100以上

产品B

销售量（件）

单位利润（元）

6 4 3

0~100 100以上

产品C

销售量（件）

单位利润（元）

5 4

（6）某一市政建设工程项目在随后的四年中需分别拨款200万元、400万元、800万和 500万元，要求拨款在该年年初提供，市政府拟以卖长期公债的方法筹款。长期公债在筹款的四年中市场利息分别预计为9%，8%，8.5%和9.5%，并约定公债利息在工程完工后即开始付息，连续付20年之后还本。在工程建设的头三年，卖公债的多余部分投入银行作为当年有期储蓄，以便用于随后的几年（显然第四年无有期储蓄），银行的有期储蓄利息率分别预计为8%，7.5%和6.5%。现在的问题是求政府最优的卖公债和尤有期储蓄方案，使该项市政建设工程得以完成，且付息最低。

（7）某钢铁公司有三个铁矿，他们日产矿石分别为5000，3000和1000吨。该公司有四个炼钢厂，他们每天所需的矿石量分别为4000，25000，1000和15000吨。这三个铁矿与四个炼钢厂的距离间下表1-4。问该公司应如何安排运输，既能满足各炼钢厂的需要，又能使吨公里数最小。

表1-4

炼钢厂

距离（公里） 矿山

B1 B2 B3 B4

A1 16 30 41 50 A3 34 30 32 45 A3 55 40 24 33

2、用图解法解下列线性规划问题

（1）minz??x1?2x2 （2）maxz??x1?2x2 x1?x2≥?2 x1?x2≥?2

x1?2x2≤6 x1?2x2≤6

x1，x2≤0 x1，x2≤0 （3）maxz??x1?2x2 （4）maxz?3x1?6x2

x1?x2≥?2 x1?x2≥?2 x1，x2≥0 x1?2x2≤6 x1，x2≥0

（5）maxz?3x1?6x2 x1?x2≤?2 x1?x2≤?5 x1，x2≥0

3、有两个变量的线性规划问题

maxz?x1 x1?x2≤a ?x1?x2≤?1 x1≥0，x2≥0

（1） 证明本题当且仅当a≥1时为可行

（2） 应用图解法，对a≥1的一切值，求线性规划以a表示的最优值。

4、考虑标准线性规划问题

maxz?CX AX?b X≥0

设x和x?1??2?是上述问题的两个最优解。求证向量X?????X?1???1???X?2?是最优

解，?为0与1 之间的任意值。

5、用单纯形法求解以下问题

（1）maxz?x1?32 （2）minz?3x1?x2?x3?x4 x1≤5 ?2x1?2x2?x3?4

x1?2x2≤10 3x1?x2?x4=6 x2≤4 xj≥0，j=1，2，3，4 x1，x2≥0

（3）maxz?x1?2x2?x3?4x4 （4）minz??2x1?8x2?x3 x1?2x2?2x3?2x4≤20 2x1?9x2?3x3≤30 2x1?x2?3x3?2x4≤20 x1?5x2?x3≥?20 xj≥0，j=1，2，3，4 4x1?6x2?2x3≤15

最优解是否唯一，为什么？

xj≥0，j=1，2，3，4

（5）用单纯形法证明下列问题无最优解： maxz?x1?2x2

?2x1?x2?x3≤2 ?x1?x2?x3≤1 x1，x2，x3≥0