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小学+初中+高中+努力=大学

第2讲 计数原理

1．(2015·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( ) A．144个 C．96个

2

5

B．120个 D．72个

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2．(2015·课标全国Ⅰ)(x＋x＋y)的展开式中，xy的系数为( ) A．10 C．30

B．20 D．60

3．(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余

5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．

4．(2014·课标全国Ⅱ)(x＋a)的展开式中，x的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)

1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.

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热点一 两个计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． 例1 (1)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( ) A．72种 C．24种

小学+初中+高中+努力=大学

B．48种 D．12种

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(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1

B．204 D．920

思维升华 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．

(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．

跟踪演练1 (1)(2014·大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( ) A．60种 C．75种

2

B．70种 D．150种

(2)已知函数f(x)＝ln(x＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为( ) A．8 B．9 C．26 D．27 热点二 排列与组合

名称 相同点 排列 组合 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复 ①排列与顺序有关； ①组合与顺序无关； ②两个排列相同，当且仅当这不同点 两个排列的元素及其排列顺序完全相同 ②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 例2 (1)(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( ) A．72 C．144

B．120 D．168

(2)数列{an}共有12项，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且|ak＋1－ak|＝1，k＝1,2,3，…，11，则满足这种条件的不同数列的个数为( ) A．84 C．76

B．168 D．152

小学+初中+高中+努力=大学

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思维升华 解排列、组合的应用题，通常有以下途径：

(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．

(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 跟踪演练2 (1)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A．36种 C．48种

B．42种 D．54种

(2)要从3名骨科和5名内科医生中选派3人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)． 热点三 二项式定理 (a＋b)＝Cna＋Cnan0n1n－1

n－rrnrb＋…＋Crb＋…＋Cn其中各项的系数就是组合数Cn(r＝0,1，…，nanb，

rn－rrn)叫做二项式系数；展开式中共有n＋1项，其中第r＋1项Tr＋1＝Cnab(其中0≤r≤n，r∈N，

n∈N*)称为二项展开式的通项公式．

例3 (1)(2015·陕西)二项式(x＋1)(n∈N)的展开式中x的系数为15，则n等于( ) A．4 C．6

8

4

n*2

B．5 D．7

(2)(2－x)的展开式中，不含x的项的系数的和为( ) A．－1 C．1

B．0 D．2

思维升华 (1)在应用通项公式时，要注意以下几点：

①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定； ②Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；

③公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置； ④对二项式(a－b)展开式的通项公式要特别注意符号问题．

(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．

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跟踪演练3 (1)(2014·湖北)若二项式(2x＋)的展开式中3的系数是84，则实数a等于

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