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学好数学，掌握解题思路是关键

作者：刘薇

来源：《数学大世界·上旬刊》2017年第06期

【摘要】本文通过教学中的实际案例来说明要学好数学，掌握正确的解题思路是关键。 【关键词】数学；解题思路

数学是一门逻辑性很强的学科，高中阶段的数学，是学习物理、化学、计算机等科目的必要基础。从短期目标来说，在高考中，数学所占分值较高，从发展的角度看，学好数学对于培养创新意识和应用意识，认识数学的科学和文化价值，形成理性思维都有着积极的作用。 然而在数学学习中，发现许多同学有恐惧、畏难的心理，认为数学是一座难以翻越的高山。由于这种心理的存在，数学就变得更加难以突破，如果这样持续下去，会直接影响今后的学习。

想要学好数学，必须要重视数学思维。我们要鼓励学生多动脑思考。对于学生错误的解题思路，要帮他们找到问题。只有学会思维的方式，学生才能够进行自主创新学习。 以下是我在教学过程中的实际案例。

数学解题中常会应用到讨论的思想。在第一次接触恒成立的问题时，让学生自己去探索，自己去寻找解题的关键。

例1 不等式kx2-2x+6k≤0（k≠0），若不等式的解集是实数集R，求k的取值范围。 这是一道典型的恒成立问题，因为要求不等式小于等于0，且解集为实数集，所以对应二次函数图象的开口方向一定是向下的。但是学生初次接触时，总是习惯先画一个开口方向向上的抛物线，这是学生思考的过程，我们要支持学生自己去探索，自己去发现问题，然后再加以引导。

当图象开口方向向上的时候，不管图象在什么位置，小于零的部分有多少，但是函数值总是有大于零的时候。因此我们要改变二次函数图象的开口方向，当开口方向是向下的时候，才有可能符合题意。但要保证函数值一直是小于等于零，又是什么样的情况呢？

有的同学通过图象的平移，发现只要图象在x轴的下方就可以了。那在x轴的下方时，应该怎样用数学语言来表达呢？

这时引导学生看图象与x轴的交点有几个。有同学说没有交点，还有同学说有一个交点。由于题里要求的条件是小于等于零，所以有一个交点的时候能够满足条件，没有交点的时候，

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图象一直是小于零的，也能够满足条件。“二次函数图象与x轴没有交点说明什么？”“说明判别式小于零。”“那有一个交点又是什么情况？”“判别式等于零。”马上就有同学喊出了答案。“那把两种情况放在一起是判别式满足什么条件？”“判别式小于等于零。”这次是大家齐声回答。就这样，恒成立问题得到了解决，在解题过程中，都是学生通过自己画图一步步找到题目需要的条件，最后算出答案。老师在这个过程中只是起到引导的作用，最后通过教师的总结扩展，恒成立问题的解法就变得易于理解了。

很多同学上课能够听懂，自己做就没有思路，这是因为学生平时都是被动地接受，自己没有认真思考。针对这一点，我们在教学中可以多让学生自己思考。先让他们去想，去试，去碰壁，他们的求知欲会被激起，这时候教师再来进行讲解，效果会更好。而且要教会学生进行对比反思，看自己卡在什么地方，为什么卡住，怎么样去解决。要对解题的各个环节做深入的反思和总结，积累经验，并将其与以往的或他人类似的学习过程进行比较，发现奥秘和规律，作为以后学习的基础。要提醒自己反思：解题方法是否正确，是否最佳，是否还有他法，有何独到之处，是否可以推广，与同类题有什么区别和联系。我们很多同学往往忽视解题后的总结和反思，其实总结和反思甚至比做题本身更加重要。通过不断的总结反思，可以使做过的题目、用过的方法在我们的大脑中形成知识体系，思维方法。对于我们提高我们的思维能力，自主学习能力是至关重要的。

教师要善于在教材的要求和学生求知心理之间设置“认识矛盾冲突”，这样可以激起学生的内在动力，促使学生学会并掌握学习方法，把学生的思维引向深入。

例如在教学“直线和圆的位置关系”时，先用分类的方法，让学生进行讨论，并根据讨论的结果，引导学生概括出直线和圆的三种位置关系的定义。然后提出能否像判定点和圆的位置关系那样，用数量关系来判定直线和圆的位置关系？点和圆的位置关系的判定运用了哪两个数量之间的关系？直线和圆的位置关系中是否出现了类似的数量关系？如何由这两个数量之间的关系来判定相应的位置关系？通过对问题的深入研究，激发学生的创造思维，培养思维的变通性，同时通过教师的适时点拨，使学生自悟学法，实现迁移。这就要求教师在备课过程中，既要备教材也要备学生，从学生的认知角度去设计适合的教法，让学生在参与过程中不断提高思维的高度。

例2 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）

对于这种类型的题目，只要我们掌握了函数的三个要素就可以了。函数的三要素分别是什么？“定义域，值域，对应法则。”那我们就从这几个角度去考虑。找同学回答A选项中函数的定义域是什么。由于第一个函数是先平方再开方的，所以函数的定义域是R，而第二个函数是先开方，那我们就要要求被开方数大于零，所以选项A中的两个函数定义域是不同的，那它们就不是同一函数。同样的方法要求学生自己去讨论其余几个选项的情况，最后找同学来进行分析。

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教师在教学中应善于用悬念、反问、比较、转化等激疑方法，努力创设问题情境，消除学生质疑心理障碍，尽可能提供质疑契机，教给质疑方法。如抓住知识的重点、难点、关键点、新旧知识的契合点质疑；教学生抓住自己不懂或似懂非懂的地方质疑，提出自己独到的见解等等，引导学生学会质疑，大胆质疑，使“有疑一释疑”的教学过程成为学生自主参与，主动探求知识的过程，从而培养学生发现问题，解决问题的能力，促使学生掌握自主学习的方法。 当然，数学自主学习方法的掌握并非“朝夕之功”，但是，只要通过我们坚持不懈的努力，就一定能够使学生在学习中不断发挥主观能动性，让每一位学生真正成为学习的主人，成为知识的创造者，让他们从被动接受到主动进行自主创新学习，真正去创造属于他们自己的辉煌。