内容发布更新时间 : 2024/12/25 13:44:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章 导数及其应用

§变化率问题

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?43?r 3h 如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?33V 4?分析: r(V)?33V， 4?ot ⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm)气球的平均膨胀

率为

r(1)?r(0)?0.62(dm/L)

1?0⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm) 气球的平均膨胀率为

r(2)?r(1)?0.16(dm/L)

2?1r(V2)?r(V1)

V2?V1可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= ++10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算：0?t?0.5和1?t?2的平均速度v

h(0.5)?h(0)?4.05(m/s)；

0.5?0h(2)?h(1)在1?t?2这段时间里，v???8.2(m/s)

2?165探究：计算运动员在0?t?这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49在0?t?0.5这段时间里，v?⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h(t)= ++10的图像，结合图形可知，h(65)?h(0)， 4965)?h(0)?0(s/m)， 所以v?4965?04965虽然运动员在0?t?这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非

49h(静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子

f(x2)?f(x1)表示,

x2?x1

称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

2．若设?x?x2?x1, ?f?f(x2)?f(x1) (这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+?x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1)) 3． 则平均变化率为

f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f? ??x2?x1?x?x?x思考：观察函数f(x)的图象 平均变化率

直线AB的斜率

f(x2)?f(x1)?f表示什么? ?x?x?x21y y=f(x) f(x2) △y =f(x2)-f(x1) f(x1) O △x= x2-x1 x1 x2 x 三．典例分析

例1．已知函数f(x)=?x?x的图象上的一点A(?1,?2)及临近一点B(?1??x,?2??y),则

2?y? ． ?x?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x 解：?2??y??(?1??x)?(?1??x)， ∴?x?x22例2． 求y?x在x?x0附近的平均变化率。

解：?y?(x0??x)2?x0，所以

22?y(x0??x)2?x0x0?2x0?x??x2?x0???2x0??x ?x?x?x2 所以y?x在x?x0附近的平均变化率为2x0??x

22四．课堂练习

1．质点运动规律为s?t?3，则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s(t)=3t+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

3

3.过曲线y=f(x)=x上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=时割线的斜率. 五．回顾总结：1．平均变化率的概念；2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业

2

2导数与导函数的概念

教学目标：

1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义；

2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化

问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力

3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点： 1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用 教学难点： 1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用 教学过程： 一、情境引入

在前面我们解决的问题： 1、求函数f(x)?x在点（2，4）处的切线斜率。

2?yf(2??x)?f(x)??4??x，故斜率为4 ?x?x22、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是V?t?1，求t?to时的瞬时速度。

?Vv(to??t)?v(to)??2to??t，故斜率为4 ?t?t二、知识点讲解

上述两个函数f(x)和V(t)中，当?x(?t)无限趋近于0时，数。

归纳：一般的，定义在区间（a，b）上的函数f(x)，xo?(a，b)，当?x无限趋近于0时，

?V?V()都无限趋近于一个常?t?x?yf(xo??x)?f(xo)无限趋近于一个固定的常数A，则称f(x)在x?xo处可导，并称A为??x?x（1）f'(2)?4，f(x)在x?xo处的导数，记作f'(xo)或f'(x)|x?xo，上述两个问题中：（2）V'(to)?2to

三、几何意义：我们上述过程可以看出f(x)在x?x0处的导数就是f(x)在x?x0处的切线斜率。 四、例题选讲

例1、求下列函数在相应位置的导数

（1）f(x)?x?1，x?2 （2）f(x)?2x?1，x?2 （3）f(x)?3，x?2 例2、函数f(x)满足f'(1)?2，则当x无限趋近于0时，

（1）

2f(1?x)?f(1)f(1?2x)?f(1)? （2）?

2xxf(x0?4?x)?f(x0)无限趋近于1，则f?(x0)=___________

?x变式:设f(x)在x=x0处可导，（3）

（4）

f(x0?4?x)?f(x0)无限趋近于1，则f?(x0)=________________

?xf(x0?2?x)?f(x0?2?x)所对应的常数与f?(x0)的关系。

?x（5）当△x无限趋近于0，

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

2例3、若f(x)?(x?1)，求f'(2)和(f(2))' 注意分析两者之间的区别。 例4：已知函数f(x)?x，求f(x)在x?2处的切线。

导函数的概念涉及：f(x)的对于区间（a,b）上任意点处都可导，则f(x)在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为f(x)的导函数，记作f'(x)。 五、小结与作业

§导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率

65（二）探究：计算运动员在0?t?这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h(t)= ++10的图像，结合图形可知，h(h 65)?h(0)， 49t 65)?h(0)49o?0(s/m)， 所以v?65?04965虽然运动员在0?t?这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非

49h(静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

二．新课讲授 1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t?2时的瞬时速度是多少？考察t?2附近的情况：

思考：当?t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当?t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值?13.1．

从物理的角度看，时间?t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，

运动员在t?2时的瞬时速度是?13.1m/s

h(2??t)?h(2)??13.1

?t?0?t表示“当t?2，?t趋近于0时，平均速度v趋近于定值?13.1”

为了表述方便，我们用lim小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2 导数的概念

从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?f?lim ?x?0?x?x''我们称它为函数y?f(x)在x?x0出的导数，记作f(x0)或y|x?x0，即

f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)

?x说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率