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解题思路的作用

教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系． 教学难点：复数的几何意义。 教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定. 教学过程：

学生探究过程：

uuur1.若A(x,y)，O(0,0)，则OA??x,y?

2. 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

3. 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1?

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

即 AB=OBOA=( x2, y2) (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1)

讲授新课：

复平面、实轴、虚轴：

复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i

非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

?复平面内的点Z(a,b) 复数z?a?bi????这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有

惟一的一个复数和它对应.

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

一一对应uuur?平面向量OZ １．复平面内的点Z(a,b)????一一对应uuur?平面向量OZ 2. 复数z?a?bi????一一对应例1．（2007年辽宁卷）若????35?π，π?，则复数(cos??sin?)?(sin??cos?)i在复平面44??内所对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：选B . 例2．（2003上海理科、文科）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值.

[解] |z1?z2|?|1?sin?cos??(cos??sin?)i|

?(1?sin?cos?)2?(cos??sin?)2 12?2?sin?cos??2?sin2?.422故|z1?z2|的最大值为

3,最小值为2. 2例3．（2004北京理科）满足条件|z?i|?|3?4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ） A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 解：选C.

巩固练习：课后作业：课本第106页 习题3. 1 A组4，5，6 B组1,2 教学反思：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

?复平面内的点Z(a,b) 复数z?a?bi????这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有

惟一的一个复数和它对应.

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

1．（2000广东，全国文科、理科，江西、天津理科）在复平面内，把复数3?3i对 应的向量按顺时钟方向旋转

一一对应?，所得向量对应的复数是：（ B ） 3（A）23 （B）?23i （C）3?3i （D）3+3i

2． (1992全国理科、文科)已知复数z的模为2,则│z-i│的最大值为：( D )

(A)1 (B)2 (C) (D)3 3．（2003北京理科）若z?C且|z?2?2i|?1,则|z?2?2i|的最小值是（ B ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．（2007年上海卷）若a,b为非零实数，则下列四个命题都成立： ①a?12?0 ②?a?b??a2?2ab?b2 ③若a?b，则a??b a④若a?ab，则a?b则对于任意非零复数a,b，上述命题仍然成立的序号是_____。 4．②，④

5．(2005上海文科)在复数范围内解方程|z|?(z?z)i?223?i（i为虚数单位）。 2?i

【思路点拨】本题考查共轭复数的模的概念和运算能力，可根据复数的代数形式进行处理. 【解】原方程化简为z?(z?z)i?1?i,

设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x+y+2xi=1-i, ∴x+y=1且2x=-1,解得x=-2

2

2

2

231且y=±,

22∴原方程的解是z=-

31±i.

22

§复数代数形式的四则运算 §复数代数形式的加减运算及几何意义

教学目标：

知识与技能：掌握复数的加法运算及意义

过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义

情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系． 教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。 教具准备：多媒体、实物投影仪 。

教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定. 教学过程：

学生探究过程：

1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即 i??1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

22

2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x=－1的一个根，方程x=－1的另一个根是－i

4n+14n+24n+34n

3. i的周期性：i=i, i=-1, i=-i, i=1

4.复数的定义：形如a?bi(a,b?R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*

23. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即z?a?bi(a,b?R)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式

4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a?bi(a,b?R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.

6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

7. 复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

?复平面内的点Z(a,b) 复数z?a?bi????这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有

惟一的一个复数和它对应.

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法

一一对应uuur8.若A(x,y)，O(0,0)，则OA??x,y?

9. 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)， a?b?(x1?x2,y1?y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

10. 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1?

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

即 AB=OBOA=( x2, y2) (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1)

讲解新课：

一．复数代数形式的加减运算

１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.

∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.

4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

证明：设z1=a1+=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).

∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)

=［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i =［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.

z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］

=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］ =［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i

∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).

∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律 讲解范例：

例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i

例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)

解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.

解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i， (3－4i)+(－4+5i)=－1+i， ……

(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i. 相加得(共有1001个式子)：

原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)

=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i

二.复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加(减)法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).

uuur?平面向量OZ １．复平面内的点Z(a,b)????一一对应uuur?平面向量OZ 2. 复数z?a?bi????一一对应3.复数加法的几何意义：

设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2，即OZ1、OZ2的坐标形式为OZ1=(a，b)，OZ2=(c，d)以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是OZ，

∴OZ= OZ1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i

4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，

z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平

行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于